Скалярное произведение когерентных состояний

Question

Скалярное произведение когерентных состояний

Физика
квантовая оптика
когерентные состояния
квантовая механика
вторичное квантование

Мальчик С

Предположим для простоты, что у нас есть одномерный осциллятор, но это вопрос об общей CCR в осцилляторах, вторичном квантовании, квантовой теории поля и т.д.

Мы знаем, что когерентные состояния образуют неортонормированный сверхполный базис. Мы знаем, что они удовлетворяют $A |\alpha>=\alpha |\alpha>$ , где $|\alpha>=e^{-\frac{|\alpha|^2}{2}} e^{\alpha A^+} \Psi_0$

Как мы можем вычислить общее скалярное произведение между двумя разными когерентными состояниями с собственными значениями $\alpha$ и $\beta$ ?

е^{- \frac{| α |^{2} + | β |^{2}}{2}} Ψ_{0} е^{β А} е^{α А^{+}} Ψ_{0}

$e^{-\frac{|\alpha|^2+|\beta|^2}{2}}\Psi_0 e^{\beta A} e^{\alpha A^+} \Psi_0$

ВСК

Начните с разложения Тейлора, т.е.

exp (α a^{†}) | 0 ⟩ = \sum_{n} \frac{α^{n}}{n!} (a^{†})^{n} | 0 ⟩

$\mbox{exp}(\alpha a^{\dagger})|0\rangle = \sum_n \frac{\alpha^n}{n!}(a^{\dagger})^n|0\rangle$ (и помните, что числовые состояния ортогональны !)

Мальчик С

@wsc Так что я получу

e^{- \frac{| α |^{2} + | β |^{2}}{2}} e^{\hat{β} α}

$e^{-\frac{|\alpha|^2+|\beta|^2}{2}}e^{\hat\beta\alpha}$ ?

ВСК

если под этой шляпой ты подразумеваешь сопряжение

β

$\beta$ , да... Теперь вы можете придумать более наводящий на размышления способ написать это?

ВСК

на самом деле это было довольно расплывчато, и это сложно, если вы не знаете, что я ищу. Дело в том, что вы также можете написать это как

exp (- | α - β |^{2})

$\mbox{exp}(-|\alpha-\beta|^2)$ , что позволяет вам интерпретировать пространство когерентных состояний немного более графически, ИМО.

Любош Мотл

Уважаемый wsc, это неправда, что

- (| a |^{2} + | b |^{2}) / 2 + b^{*} a = - | a - b |^{2}

$-(|a|^2+|b|^2)/2 +b^* a = -|a-b|^2$ . Во-первых, не хватает двойки. Во-вторых, левая сторона имеет

b^{*} a

$b^* a$ вместо его действительной части,

(b^{*} a + a^{*} b) / 2

$(b^* a + a^* b)/2$ , который появляется с правой стороны. Поскольку эти квадратичные выражения появляются в показателе степени, их разность — чисто мнимое число — изменяет только фазу результата. Таким образом, ваш последний геометрический результат в порядке до неправильной фазы внутреннего продукта. Просто чтобы быть уверенным, ответ Боя на 3 комментария выше абсолютно правильный.

ВСК

Ой! Ой! Спасибо, @Lubos, я думал о результате для

| ⟨ β | α ⟩ |^{2}

$|\langle \beta | \alpha \rangle |^2$

Ответы (2)

Скалярное произведение когерентных состояний

Начните с разложения Тейлора, т.е. $\mbox{exp}(\alpha a^{\dagger})|0\rangle = \sum_n \frac{\alpha^n}{n!}(a^{\dagger})^n|0\rangle$ (и помните, что числовые состояния ортогональны !)
@wsc Так что я получу $e^{-\frac{|\alpha|^2+|\beta|^2}{2}}e^{\hat\beta\alpha}$ ?
если под этой шляпой ты подразумеваешь сопряжение $\beta$ , да... Теперь вы можете придумать более наводящий на размышления способ написать это?
на самом деле это было довольно расплывчато, и это сложно, если вы не знаете, что я ищу. Дело в том, что вы также можете написать это как $\mbox{exp}(-|\alpha-\beta|^2)$ , что позволяет вам интерпретировать пространство когерентных состояний немного более графически, ИМО.
Уважаемый wsc, это неправда, что $-(|a|^2+|b|^2)/2 +b^* a = -|a-b|^2$ . Во-первых, не хватает двойки. Во-вторых, левая сторона имеет $b^* a$ вместо его действительной части, $(b^* a + a^* b)/2$ , который появляется с правой стороны. Поскольку эти квадратичные выражения появляются в показателе степени, их разность — чисто мнимое число — изменяет только фазу результата. Таким образом, ваш последний геометрический результат в порядке до неправильной фазы внутреннего продукта. Просто чтобы быть уверенным, ответ Боя на 3 комментария выше абсолютно правильный.
Ой! Ой! Спасибо, @Lubos, я думал о результате для $|\langle \beta | \alpha \rangle |^2$

Давид Бар Моше · Answer 1

В качестве альтернативы вычисление может быть выполнено в представлении Баргмана гармонического осциллятора. Далее в этом представлении будет описана необходимая оценка внутреннего продукта. На мой взгляд, этот метод превосходит вычислительные возможности, а также обладает многими другими преимуществами. Этот метод основан на изоморфизме гильбертовых пространств $L^2(\mathbb{R})$ и пространство Баргмана аналитических функций на $\mathbb{C}$ относительно внутреннего продукта

(ф, г) "=" \frac{1}{2 π} \int_{С} ф (г) \bar{г (г)} опыт (- г \bar{г}) г г г \bar{г}

$(f,g) = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{C}} f(z) \overline{g(z)} \exp(-z\bar{z})dz d\bar{z}$

(Изоморфизм задается явно с помощью преобразования Баргмана)

В представлении Баргмана оператор рождения представлен умножением на $z$ а производная оператора уничтожения по z и вакуумному состоянию — постоянной единичной функцией (и, кстати, собственные функции энергии гармонического осциллятора — мономами $z^n$ - до нормализации). Таким образом $\alpha$ когерентное состояние представлено:

ψ_{α} (г) "=" опыт (- \frac{| α |^{2}}{2}) опыт (\bar{α} г)

$\psi_{\alpha}(z) = \exp\left(-\frac{|\alpha|^2}{2}\right) \exp(\bar{\alpha}z)$

и поэтому внутренний продукт определяется как:

(ψ_{β}, ψ_{α}) "=" \frac{опыт (- \frac{(| α |^{2} + | β |^{2})}{2})}{2 π} \int_{С} опыт (\bar{β} г) опыт (α \bar{г}) опыт (- г \bar{г}) г г г \bar{г} "=" опыт (- \frac{(| α |^{2} + | β |^{2})}{2}) опыт (\bar{β} α)

$(\psi_{\beta},\psi_{\alpha}) = \frac{\exp\left(-\frac{\left(|\alpha|^2+|\beta|^2\right)}{2}\right)}{2\pi}\int_{\mathbb{C}} \exp(\bar{\beta}z) \exp(\alpha\bar{z}) \exp(-z\bar{z}) dz d\bar{z} = \exp\left(-\frac{\left(|\alpha|^2+|\beta|^2\right)}{2}\right) \exp(\bar{\beta} \alpha)$

Интеграл легко вычисляется с помощью переноса координат и завершения квадрата.

Этот пример является прототипом квантования в поляризации Кэлера.

Питер Морган · Answer 2

Используйте тождества Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа. Они ваши лучшие друзья для этого. Две ссылки, например:

В Википедии есть страница с примером под заголовком «Применение в квантовой механике», который в значительной степени вам нужен.

Скалярное произведение когерентных состояний

Мальчик С

ВСК

Мальчик С

ВСК

ВСК

Любош Мотл

ВСК

Ответы (2)

Давид Бар Моше

Питер Морган

Как записать выходное состояние светоделителя?

Нахождение спектра полинома от операторов рождения и уничтожения

Мощность лазера и амплитуда когерентного состояния

Можете ли вы создать реальное когерентное состояние?

Собственные состояния оператора рождения

Почему название «оператор смещения»?

Что означает когерентная суперпозиция?

Состав операторов сжатия?

Что такое «соображения четности» при определении формы гамильтониана?

Когда квантовая оптика «верна»?