Нахождение спектра полинома от операторов рождения и уничтожения

Существует ли общий алгоритм нахождения спектра С С † , куда С является однородным полиномом (степени н ) операторов уничтожения (из г переменные)?

Ответы (2)

Пространства В н знак равно С п а н { ( а 1 † ) н 1 , . . . ( а г † ) н г | 0 > } , н я ≥ 0 , н 1 + . . . н г знак равно н , состоят из инвариантных подпространств оператора С С † действие. Размер В н является ( г + н − 1 ) ! ( г − 1 ) ! н ! . Таким образом, на каждом из этих подпространств оператор может быть представлен в виде квадратной матрицы размера ( г + н − 1 ) ! ( г − 1 ) ! н ! для которого спектр можно найти с помощью элементарной линейной алгебры. Спектр всего фоковского пространства есть объединение спектров над В н , н знак равно 0 , 1 , . . .

@ Моше, ты потерял свой старый аккаунт?
@Моше, спасибо большое. Проталкивание дальше - для полинома степени к достаточно ли знать собственные значения в первом я подпространства (т.е. В 0 , … , В я ) чтобы предсказать все остальные? Как для н знак равно 1 достаточно знать собственное значение для я знак равно 1 (все остальные являются их мультипилитетами).
@David Bar Moshe: Формула (v1) для тусклый ⁡ В н должен содержать ошибку/опечатку(?), которую можно увидеть, например, поставив г знак равно 1 .
@Piotr - извините за ошибку, конечно, размерность равна количеству упорядоченных разделов н в самое большее г штук или, что то же самое, размер полностью симметричного н -тензорное представление С U ( г ) , который можно рассчитать, например, по формуле длины крюка. Кстати, я пытаюсь время от времени думать о вашем интересном предложении в вашем последнем комментарии, но пока не нашел ответа.

Всегда можно переупорядочить операторы в вашем полиноме, чтобы сделать его полиномом отдельных операторов числа частиц. Например а к + а к + а к а к знак равно ± н к 2 + н к (знак зависит от статистики ваших частиц). Поскольку операторы числа частиц для разных мод коммутируют, вычисление спектра не вызывает затруднений.

Боюсь, это не так просто. Даже для самого простого нетривиального случая С знак равно α 2 а 1 2 + β а 1 а 2 + γ 2 а 2 2 вы получаете перекрестные термины в С С † , например α β * 2 а 1 2 а 1 † а 2 † . Знаете ли вы общий алгоритм его «диагонализации», чтобы не было перекрестных терминов?
Нахождение спектра полинома от операторов рождения и уничтожения
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v