Скорость попадания молекул в стену

Пересматриваю свой финал прошлого семестра для подготовки к соревнованиям:

Вопрос:

Поршень массы M может свободно перемещаться в трубе с площадью поперечного сечения A, заполненной идеальным одноатомным газом с молекулярной массой m ≪ M и плотностью n при температуре T.

Первая часть вопроса спрашивает:

Рассчитайте скорость молекулярных столкновений с поршнем (с обеих сторон).

Я нашел уравнение в одной из моих любимых книг по SM (Blundell и Blundell), которое, я думаю, поможет здесь:

Однако решение моего профессора работает полностью в 1-мерном пространстве и поэтому использует 1-мерное распределение Максвелла-Больцмана. И поэтому я могу оправдать себя, принимая$1/2 cos(\theta) sin(\theta) d\theta$из уравнения 6.12, чтобы соответствовать тому, что мой профессор имеет в своем решении.

Таким образом

$$N= A \cdot v \cdot dt \cdot n \cdot f(v) \cdot dv$$

где n = числовая плотность (N/V), A — площадь стенки/поршня, v — скорость, dt — некоторый интервал времени, а f(v) — одномерное распределение Максвелла-Больцмана.

Мой вопрос заключается в том, откуда берется интеграция моих профессоров в предоставленном им решении:

$$\frac{d N}{dt} = 2 \cdot \bigg(\frac{m}{2 \pi T}\bigg)^{1/2}\cdot n \cdot A \cdot \int_0^\infty v e^{\frac{-mv^2}{2 T}} dv = n A \sqrt{\frac{2T}{\pi m}}$$

У меня есть почти все эти ингредиенты из уравнения Бланделла и Бланделла, за исключением интегрирования в правой части и dN, а не только N в левой части.

Единственное интегрирование распределения, с которым я знаком, - это средняя скорость,

$$\bar{v} = \int_0^\infty v f(v) dv$$

Что я неправильно понимаю в отсутствующем интегрировании в уравнении Бланделла и Бланделла?

Примером интегрирования, чтобы получить информацию о NI, является случай вырожденного ферми-газа при небольшой, но отличной от нуля температуре из уравнения 7.53 Шредера.

$$N= \int_0^\infty g(\epsilon) \bar{n}_{FD}(\epsilon) d\epsilon$$