Как рассчитать плотность состояний для разных моделей газа?

Чтобы понять, как вычислить плотность состояний, вы должны сначала понять, откуда она берется. В статистической физике у нас часто есть суммы, которые выглядят так:

$$\sum_{s}\sum_{\vec n}$$ где $s$этикетки крутятся и $\vec n$представляет собой вектор натуральных чисел, обозначающий квантовые состояния, и у него столько компонентов, сколько измерений. Точно так же мы могли бы записать его как сумму по компонентам, $\sum_{n_1}\sum_{n_2}\sum_{n_3}\cdots$. Что именно мы суммируем, не имеет значения при вычислении плотности состояний.

Во многих вычислениях квантовые состояния разнесены очень точно, и мы можем заменить сумму квантовых чисел интегралом:

$$\sum_{s}\sum_{\vec n}\to \sum_{s}\int dn_1 dn_2 \cdots dn_D =\sum_{s}\int d^D \vec n$$ где $D$это количество измерений. Однако на самом деле натуральные числа никогда не бывают точно разнесены, скорее импульсы, поэтому мы заменяем $\vec n$с $\vec k$, предполагая, что система находится в $D$габаритная коробка: $\vec k = \frac{2\pi}{L}\vec n$. Делая это, мы получаем $$\sum_{s}\int d^D \vec n = \sum_{s} \frac{L^D}{(2\pi)^D} \int d^D \vec k$$ Если система не в коробке, единственное, что мы должны изменить, это заменить $L^D$с $D$габаритный объем $V$системы (например, двумерный объем — это площадь) и продолжайте как обычно.

Для простоты теперь мы также заменим сумму по спинам. Если сумма, которую мы суммируем, не зависит от спина, то мы можем заменить$\sum_s \to g_s$где$g_s=2s+1$является спиновым вырождением. Для электрона,$s=1/2$так$g_s=2$. Конечно, мы не знаем, что мы суммируем, поэтому мы не знаем, не зависит ли это от спина, но при вычислении плотности состояний обычно предполагается, что это не так.

Следующее, что мы делаем, это замечаем, что обычно сумма, которую мы суммируем, не зависит от всего вектора.$\vec k$а только по своей величине$|\vec k|=k$. Чтобы избавиться от избыточности, мы идем к$D$ размерные сферические координаты (имеющие одну радиальную составляющую$k$и$D-1$угловые компоненты). Поскольку подынтегральная функция по предположению не зависит от угловых степеней свободы, мы можем их проинтегрировать, чтобы получить площадь$D-1$размерная сфера:

$$\int d^D \vec k = S_{D-1} \int_0^\infty dk \, k^{D-1}$$ Вы можете убедиться в том, что это правда, либо глядя на нее достаточно долго, либо взглянув на $D=2$и $D=3$случаи: $$\int d^2 \vec k = 2\pi \int_0^\infty dk \, k \,\,\,\,\,\,\,\, \int d^3 \vec k = 4\pi^2 \int_0^\infty dk \, k^2$$ Вы можете найти выражение для $S_{D-1}$на странице википедии, указанной выше.

Подводя итог, до сих пор мы сделали следующее:

$$\sum_{s}\sum_{\vec n}\to \frac{V g_s S_{D-1}}{(2\pi)^D} \int_0^\infty dk \, k^{D-1}$$ На данный момент мы хотим выразить интеграл как один по энергии $\epsilon$а не по импульсу $k$, а для этого нужно знать дисперсионное соотношение $\epsilon = \epsilon(k)$. Когда его можно инвертировать и подставить в интеграл.

Так например в$2D$случай идеального газа,$V$на самом деле это площадь$A$,$S_{D-1} = 2\pi$,$g_s=1$а дисперсионное соотношение$\epsilon(k)=\hbar^2 k^2/2m$. инвертирование,$k=\sqrt{2m \epsilon}/\hbar$так что мы получаем:

$$\frac{A}{2\pi} \int_0^\infty dk \, k = \int_0^\infty \frac{mA}{2\pi \hbar^2} d\epsilon$$ поэтому плотность состояний в этом случае равна $\frac{mA}{2\pi \hbar^2}$. Если вы будете следовать шагам, описанным выше, расчеты в других случаях не будут сложными.

Подсказка: плотность состояний энергии связана с плотностью состояний в$\textbf{k}$-пространство как:

$g(E)dE = D g(\textbf{k})d^n(\textbf{k})=Dg_{nD}(k)dk$

где$D$есть вырождение состояний и$n$– размер рассматриваемой конструкции.

Из отношения,$g(E)$($D(\epsilon)$в вопросе) можно определить как:

$g(E) = \frac{Dg_{nD}(k)}{\frac{dE}{dk}}$

Возьмите ваш первый вопрос в качестве примера,$D=1$так как для идеального газа нет вырождения, и$n=2$так как он двухмерный. Следовательно:

$g(\textbf{k})d^2\textbf{k} = (\frac{L}{2\pi})^22\pi k dk = g_{2D}(k)dk$

$\frac{dE}{dk}=\frac{\hbar^2k}{m}$

И поэтому

$g(E) = \frac{(\frac{L}{2\pi})^22\pi k}{\frac{\hbar^2k}{m}}$

по желанию.