Случайные матричные ансамбли из модели BMN

Мои друзья, работающие над термализацией черных дыр, объяснили, что решения их матричнозначных дифференциальных уравнений (из численной реализации матричной модели Беренштейна-Малдасены-Настасе ) приводят к хаотическим решениям. Они буквально получают случайные матрицы. Для спектра собственных значений можно было бы ожидать распределения полукруга, но для конечного$N$получить немного другое.

---

Доказательство закона полуокружности Вигнера исходит из изучения ядра GUE. $$K_N(\mu, \nu)=e^{-\frac{1}{2}(\mu^2+\nu^2)} \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sum_{j=0}^{N-1}\frac{H_j(\lambda)H_j(\mu)}{2^j j!}$$ Плотность собственного значения определяется установкой$\mu = \nu$. Тождество полуокружности Вигнера является полиномиальным тождеством Эрмита. $$\rho(\lambda)=e^{-\mu^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sum_{j=0}^{N-1}\frac{H_j(\lambda)^2}{2^j j!} \approx \left\{\begin{array}{cc} \frac{\sqrt{2N}}{\pi} \sqrt{1 - \lambda^2/2N} & \text{if }|\lambda|< 2\sqrt{N} \\ 0 & \text{if }|\lambda| > 2 \sqrt{N} \end{array} \right.$$ Асимптотики исходят из математических тождеств, таких как формула Кристоффеля-Дарбу.

---

Для матриц конечного размера распределение собственных значений еще представляет собой полукруг.

Построение собственных значений случайного$4 \times 4$матрице отклонения от закона полукруга заметны при 100 000 испытаний и размере бина 0,05. GUE выделена коричневым цветом, GUE|trace=0 — оранжевым.

Оси не масштабированы, извините!

Математический код:

число[] := СлучайноеВещественное[НормальноеРаспределение[0, 1]]
герм[N_] := (h =
   Table[(num[] + I num[])/Sqrt[2], {i, 1, N}, {j, 1, N}]; (ч +
     Сопрягать[Транспонировать[h]])/2)

п = 4;
испытаний = 100000;

собственный = {};
Делать [собственный =
   Join[(mat = herm[n]; mat = mat - Tr[mat] IdentityMatrix[n]/n ;
     Re[Eigenvalues[mat]]), eigen], {k, 1, испытания}];
Гистограмма [собственное значение, {-5, 5, 0,05}]
BinCounts[собственный, {-5, 5, 0,05}];
a = ListPlot[%, Joined -> True, PlotStyle -> Orange]

собственный = {};
Делать [собственный =
   Join[(mat = herm[n]; mat = mat; Re[Eigenvalues[mat]]), eigen], {k,
   1, испытания}];
Гистограмма [собственное значение, {-5, 5, 0,05}]
BinCounts[собственный, {-5, 5, 0,05}];
b = ListPlot[%, Joined -> True, PlotStyle -> Brown]

Показать [а, б]

---

Мой друг спрашивает, **бесследный** ансамбль GUE$H - \frac{1}{N} \mathrm{tr}(H)$можно анализировать. Графики показывают, что мы все еще должны получить полукруг в большом$N$предел. Для конечных$N$, колебания (относительно полуокружности) очень велики. Возможно, это как-то связано с соответствующими собственными состояниями гармонического осциллятора.

---

След - это среднее собственное значение, и собственные значения "повторно центрируются". Мы могли бы представить себе 4 идеально центрированных фермиона — они будут отталкиваться друг от друга. Совместное распределение это: $$e^{-\lambda_1^2 -\lambda_2^2 - \lambda_3^2 - \lambda_4^2} \prod_{1 \leq i,j \leq 4} |\lambda_i - \lambda_j|^2$$ В среднем фермионы будут сидеть там, где есть горбы. Их расположение должно быть более выраженным теперь, когда их «центр масс» зафиксирован.