Размерная редукция Янга-Миллса к м(атричной) теории

Действие Янга-Миллса обычно задается

$$S= \int\text{d}^{10}\sigma\,\text{Tr}\left(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\theta^{T}\gamma^{\mu}D_{\mu}\theta\right)$$

с напряженностью поля, определяемой как$F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}-ig\left[A_{\mu},A_{\nu}\right]$,$A_{\mu}$являющееся U(N) эрмитовым калибровочным полем в присоединенном представлении,$\theta$будучи$16\times1$Спинор Майорана-Вейля$SO(9)$в присоединенном представлении и$\mu=0,\dots,9$. Ковариантная производная определяется выражением$D_{\mu}\theta=\partial_{t}\theta-ig\left[A_{\mu},\theta\right]$. Мы используем метрику с преимущественно положительными знаками.

Мы повторно масштабируем поля на$A_{\mu}\to\frac{i}{g}A_{\mu}$и разреши$g^{2}\to\lambda$что дает нам

$$S=\int\text{d}^{10}\sigma\,\text{Tr}\left(\frac{1}{4\lambda}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-\theta^{T}\gamma^{\mu}D_{\mu}\theta\right)$$ с напряженностью поля, определяемой как $F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}+\left[A_{\mu},A_{\nu}\right]$и ковариантная производная $D_{\mu}\theta=\partial_{t}\theta+\left[A_{\mu},\theta\right]$.

Теперь мы выполняем размерное сокращение от $9+1$к $0+1$, так что все поля зависят только от времени, все пространственные производные равны нулю, т.е. $\partial_{a}(\text{Anything})=0$. $10$-мерное векторное поле распадается на $9$скалярные поля $A_{a}$который мы переименовываем $X^{a}$и одно калибровочное поле $A_{0}$который мы переименовываем $A$. Это дает (обратите внимание, что $\gamma^{t}=\mathbb{I}$и что $\gamma^{a}=\gamma_{a}$. $$F_{0a}= \partial_{t}X^{a}+\left[A,X^{a}\right],\quad F_{ab}=+\left[X^{a},X^{b}\right] \gamma^{t}D_{t}\theta= \partial_{t}\theta+\left[A,\theta\right],\quad\gamma^{a}D_{a}\theta=\gamma_{a}\left[X^{a},\theta\right]$$

Тогда действие для этой теории

$$S=\int\text{d}t\,\text{Tr}\left(\frac{1}{2\lambda}\bigg\{-\left(D_{t}X^{a}\right)^{2}+\frac{1}{2}\left[X^{a},X^{b}\right]^{2}\bigg\}-\theta^{T}D_{t}\theta-\theta^{T}\gamma_{a}\left[X^{a},\theta\right]\right)$$ с ковариантной производной, определенной как $D_{t}X^{a}=\partial_{t}X^{a}+\left[A,X^{a}\right]$и $D_{t}\theta=\partial_{t}\theta+\left[A,\theta\right]$

Теперь к вопросу. Мне нужна потенциальная энергия $V=+\frac{1}{2}\left[X^{a},X^{b}\right]^{2}$быть отрицательным, а не положительным.

Тейлор обсуждает это в своей статье «Лекции по D-бранам, калибровочной теории и M (матрицам)» ( http://arxiv.org/abs/hep-th/9801182 ) на странице 10, где он пишет:
« Поскольку используемая нами метрика имеет в основном положительную сигнатуру, кинетические члены имеют один приподнятый нулевой индекс, соответствующий смене знака, поэтому кинетические члены действительно имеют правильный знак. $\left[X^{a},X^{b}\right]^{2}$которое действует как потенциальный член, на самом деле отрицательно определено. Это следует из того, что $\left[X^{a},X^{b}\right]^{\dagger}=\left[X^{b},X^{a}\right]=-\left[X^{a},X^{b}\right]$. Таким образом, как и ожидалось, кинетические члены в действии положительны, а потенциальные члены отрицательны»

. $^\dagger$происходит от, для меня этот термин просто: $$\left[X^{a},X^{b}\right]^{2}=\left[X^{a},X^{b}\right]\left[X_{a},X_{b}\right]$$

Обратите внимание, что Тейлор использует немного другие соглашения при изменении масштаба, а не $A_{\mu}\to\frac{i}{g}A_{\mu}$он использует $A_{\mu}\to\frac{1}{g}A_{\mu}$и $\theta \to\frac{1}{g}\theta$. Но это не должно вызвать никаких проблем, я думаю.