Собственный вектор двух матриц вращения

Геометрия

Мне трудно понять геометрическую задачу, которая содержит геометрическое преобразование, вращение и отражение.

Фон

На этом изображении камера с центром камеры О с Представлен. Имеется зеркало с единичным вектором нормали н . г - перпендикулярное расстояние от зеркальной поверхности до О с . Поэтому г н вектор, указывающий из О с к зеркальной поверхности и перпендикулярно зеркальной поверхности. Точка п "=" [ п Икс , п у , п г ] точка наблюдения камеры, имеющая собственную систему координат О п Икс п Д п Z п . Предполагать п с это координаты п в О с Икс с Д с Z с , R — матрица вращения 3x3, а T — вектор переноса для преобразования п в О п Икс п Д п Z п к п с в О с Икс с Д с Z с . Преобразование можно записать как

п с "=" р ⋅ п + Т − − − − − − − − − − ( 1 )

Если я просмотрю п с из зеркала мы наблюдаем мнимое изображение п с . Предположим, что мнимый образ точки п является п ′ и мы создаем новую систему координат О п ′ Икс п ′ Д п ′ Z п ′ такой, что п ′ "=" [ п Икс , п у , п г ] . Мы также предполагаем п с ′ быть координатами п ′ в О с Икс с Д с Z с . Путем отражения и перевода мы имеем

п с ′ "=" ( я − 2 н н Т ) ( р ⋅ п + Т ) + 2 г н − − − − − − − − ( 2 )

Рассмотрим матрицу вращения 3x3 р в и вектор перевода Т в который преобразует п ′ в О п ′ Икс п ′ Д п ′ Z п ′ к п с ′ в О с Икс с Д с Z с , у нас есть

п с ′ "=" р в ⋅ п ′ + Т в − − − − − − − − − − − − − − ( 3 )

Из (2) и (3) будем иметь р в "=" ( я − 2 н н Т ) р и Т в "=" ( я − 2 н н Т ) Т + 2 г н

Если я теперь поверну зеркало в другое положение (т.е. новый единичный вектор нормали н 2 ), п с ′ появится в другом месте в О с Икс с Д с Z с . При том же выводе, что и выше, мы будем иметь

р в 2 "=" ( я − 2 н 2 н 2 Т ) р и Т в "=" ( я − 2 н 2 н 2 Т ) Т + 2 г 2 н 2

Вопрос

Я видел дополнительное соотношение, которое говорит, что если мы предположим м как объединенное перекрестное произведение н и н 2 . Затем р в р в 2 Т м "=" м . По сути, это говорит о том, что собственный вектор единичного собственного значения р в р в 2 Т равно перекрестному произведению н и н 2 . Я не совсем понимаю эту часть. Какова геометрическая интерпретация этого соотношения? Есть ли темы/материалы, на которые я мог бы сослаться?

Большое спасибо!

PS: К вашему сведению, я нашел это соотношение в статье Зеркальная внешняя калибровка камеры , стр. 7.

При чем тут Р и Т?
Точка p имеет свою систему координат. R — матрица вращения 3x3, а T — вектор перевода для преобразования p из его собственной системы координат в начало координат системы камеры в точке O. Спасибо, что указали на это, я добавлю его обратно в исходный пост.
Это выглядит как н является единичной нормой. Что г ?
Да. н является единичной нормалью зеркала. г перпендикулярное расстояние от О к зеркальной поверхности. Исходный пост отредактирован.
В газете об этом не сказано р в р в 2 Т м "=" м . Это говорит, что А Дж А Дж ′ Т м "=" м , т. е. что композиция двух отражений представляет собой вращение вокруг оси, перпендикулярной обеим нормалям, — пересечение двух отражающих плоскостей. Это стандартный результат.

Ответы (1)

Похоже, вы либо неправильно поняли, либо неправильно процитировали эту часть статьи. Произведение двух вращений является другим вращением, но соответствующая ось имеет довольно сложную связь с осями вращения двух компонентов. Простой контрпример: повернуть на 90° вокруг Икс -ось, а затем 90° вокруг г -ось. Результат эквивалентен повороту на 120 градусов вокруг ( 1 , 1 , 1 ) , что, конечно, не параллельно ( 0 , 0 , 1 ) × ( 1 , 0 , 0 ) .

Личность в газете на самом деле А Дж А Дж ′ Т м "=" м , где А являются отражениями , а не вращениями: А "=" ( я − 2 н н Т ) р . Вращения р одинаковы для обоих А , и они сокращаются, оставляя продукт двух чистых отражений.

Это тождество говорит о том, что композиция двух отражений представляет собой вращение вокруг оси, перпендикулярной обеим нормалям отражающих плоскостей. Это стандартный результат. Фактически ось вращения является пересечением этих плоскостей: каждое отражение фиксирует точки, лежащие в его отражающей плоскости, поэтому неподвижными точками композиции являются те точки, которые лежат в обеих плоскостях. (Если плоскости параллельны, композиция представляет собой перемещение, которое можно рассматривать как вращение вокруг линии, находящейся в бесконечности.) Оказывается, что угол поворота в два раза больше двугранного угла плоскостей, но это не так. для использования в газете.

Да, ты прав. Я неправильно понял статью и не знал, что тождество на самом деле является стандартным отношением. Большое спасибо, это очень полезно. Я отредактирую исходный вопрос, потому что цифры и уравнения тоже неверны.
Собственный вектор двух матриц вращения
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v