Круг вращается внутри круга

Я имею в виду настройку, показанную здесь и здесь : внешний круг имеет радиус$R$, внутренний круг имеет радиус$R/2$. Мы можем пометить каждую точку внутреннего круга параметром$0\leq a<2 \pi$. Движение каждой точки внутреннего круга задается одновременным движением белой стрелки.

$$w(t) = \frac{R}{2}(\cos (\omega t), \sin(\omega t) )$$

и синей стрелки относительно точки, отмеченной$a$(обратите внимание, что две стрелки должны двигаться с одинаковой угловой скоростью$\omega$но в разные стороны):

$$b_a(t) = \frac{R}{2}(\cos(-\omega t+a), \sin (-\omega t+a) )$$

Поэтому для каждой точки$a$, его траектория определяется выражением

$$r_a(t) = b_a(t) + w(t) = \frac{R}{2}\big( \cos (\omega t)+\cos(a+\omega t) \, , \, \sin(\omega t) +\sin (a-\omega t) \big)$$

Скорость точек во внутреннем круге определяется производной по$t$:

$$r_a'(t) = \frac{R \, \omega }{2}\big( -\sin(\omega t) + \sin(a-\omega t) \, , \, \cos(\omega t ) - \cos(a - t \omega) \big)$$

Наконец, угловой момент точки, отмеченной$a$по происхождению это$l_a(t) = r_a(t) \times r_a'(t)$, а именно (используя несколько стандартные обозначения$r_a = (x_a,y_a)$и$r_a' = (x_a',y_a')$)

$$l_a(t) = x_a(t) y_a'(t) - y_a(t) x_a'(t)$$

Примечание: мы распространяем векторное произведение на 2D, в результате получается скаляр.

Непосредственным вычислением можно проверить, что

$$l_a(t)=0 \qquad \forall a$$

Это неудивительно, так как каждая точка, идентифицированная$a$движется по прямой, проходящей через начало координат. Отсюда следует, что угловой момент всего внутреннего круга также равен нулю (поскольку он представляет собой сумму или, лучше сказать, интеграл нулевых вкладов). Предположим, что внутренний круг имеет полную массу$M$, равномерно распределенная (массовая плотность на единицу длины равна$M/(2 \pi (R/2))= M/( \pi R)$и элемент строки$(R/2) da$)

$$l_{tot} = \frac{M}{\pi R} \int_{0}^{2 \pi} da \, \frac{R}{2} \, l_a(t) = \frac{M}{2\pi } \int_{0}^{2 \pi} da \, l_a(t) = 0$$

Почему угловой момент равен нулю? потому что внутренний круг претерпевает два вращения в противоположных направлениях одновременно. Этот результат согласуется с теоремой Кенига .

Рассмотрим круг радиуса$r$вращение внутри круга радиуса$R$без проскальзывания. Центр малого круга C движется по окружности радиуса$R-r$.

Используя систему координат с началом в центре большого круга:$x_C=(R-r)\cos \omega t$,$y_C=(R-r)\sin \omega t$.

В то же время$\Delta t$центр малого круга идет по пути$\omega (R-r) \Delta t$. Без проскальзывания этот путь можно представить как результат вращения вокруг точки касания с угловой скоростью$\omega_1=\omega\frac{R-r}{r}$в направлении, противоположном$\omega$.

Рассмотрим точку А малого круга.$x_A=x_C+r \cos (\phi-\omega_1 t)$,$y_A=y_C+r\sin (\phi-\omega_1 t)$.

Если$R=2r$затем$\omega_1=\omega$и$x_A=r\cos\omega t+r\cos(\phi-\omega t)=r(1+\cos\phi)\cos\omega t+r\sin\phi \sin \omega t$,$y_A=r\sin\omega t+r\sin(\phi-\omega t)=r(1-\cos\phi)\sin\omega t+r \sin\phi \cos\omega t$.

Рассмотрим выражение$x_A \sin \phi-y_A(1+\cos\phi)=$ $r(1+\cos\phi)\sin\phi\cos\omega t+r\sin^2\phi\sin\omega t-r(1-\cos^2\phi)\sin\omega t-r(1+\cos\phi)\sin\phi\cos\omega t=0$, это значит$mx_A-ny_A=0$с константами$m$,$n$в зависимости от$\phi$. Это уравнение прямой, проходящей через начало координат, за исключением случая$\phi=\pi$, когда$x_A=0$, что также является прямой линией.