Повернуть 3D-плоскость

В качестве первого шага я бы переехал$P_1$к началу координат, так что точки становятся$P_1=(0,0,0)$,$P_2=(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$,$P_3=(x_3-x_1, y_3-y_1, z_3-z_1)$. Оттуда это просто вопрос применения матрицы вращения.

Матрица вращения$\mathbf{R}$который сохраняет все расстояния и формы и т.д.

$$\mathbf{R}=\left( \begin{array} [c]{ccc}% e_{1}^{x} & e_{2}^{x} & e_{3}^{x}\\ e_{1}^{y} & e_{2}^{y} & e_{3}^{y}\\ e_{1}^{z} & e_{2}^{z} & e_{3}^{z}% \end{array} \right)$$

где векторы$\left( e_{1}^{\alpha},e_{2}^{\alpha},e_{3}^{\alpha }\right)$для$\alpha\in\left\{ x,y,z\right\}$ортогональны и имеют единичную длину, т.е.

$$\sum_{i=1}^{3}e_{i}^{\alpha}e_{i}^{\beta}=\left\{ \begin{array} [c]{ccc}% 1 & & \alpha=\beta\\ 0 & & \alpha\neq\beta \end{array} \right. .%$$

Применение$\mathbf{R}$, ваши повернутые точки$P_{i}^{\prime}=\left( x_{i}^{\prime},y_{i}^{\prime},z_{i}^{\prime}\right)$даны

$$\left( \begin{array} [c]{c}% x_{i}^{\prime}\\ y_{i}^{\prime}\\ z_{i}^{\prime}% \end{array} \right) =\mathbf{R}\left( \begin{array} [c]{c}% x_{i}\\ y_{i}\\ z_{i}% \end{array} \right)$$

Предлагаю сделать верхний ряд$\mathbf{R}$единичный вектор в направлении от$P_{1}$к$P_{2}$, т.е.

$$\left( \begin{array} [c]{c}% e_{1}^{x}\\ e_{2}^{x}\\ e_{3}^{x}% \end{array} \right) =\frac{1}{\sqrt{\left( x_{1}-x_{2}\right) ^{2}+\left( y_{1}% -y_{2}\right) ^{2}+\left( z_{1}-z_{2}\right) ^{2}}}\left( \begin{array} [c]{c}% x_{1}-x_{2}\\ y_{1}-y_{2}\\ z_{1}-z_{2}% \end{array} \right)$$

что означало бы, что строка из$P_{1}$к$P_{2}$отображается в$x$-ось.

Решите, что вы могли бы использовать для второго и третьего рядов$\mathbf{R}$теперь остается решить несколько простых линейных уравнений, чтобы убедиться, что линия от$P_{1}$к$P_{3}$не имеет z-компоненты.

Чтобы решить для$\left( e_{1}^{z},e_{2}^{z},e_{3}^{z}\right)$, вектор$e_{i}^{z}$должен иметь нулевое скалярное произведение с обоими$e_{i}^{x}$и$\left( x_{3}-x_{1},y_{3}-y_{1},z_{3}-z_{1}\right)$, поэтому уравнения

$$\begin{align*} e_{1}^{x}e_{1}^{z}+e_{2}^{x}e_{2}^{z}+e_{3}^{x}e_{3}^{z} & =0\\ \left( x_{3}-x_{1}\right) e_{1}^{z}+\left( y_{3}-y_{1}\right) e_{2}% ^{z}+\left( z_{3}-z_{1}\right) e_{3}^{z} & =0 \end{align*}$$

Следовательно

$$\left( \begin{array} [c]{c}% e_{1}^{z}\\ e_{2}^{z}\\ e_{3}^{z}% \end{array} \right) =\lambda_{z}\left( \begin{array} [c]{c}% \left( z_{3}-z_{1}\right) e_{2}^{x}-\left( y_{3}-y_{1}\right) e_{3}^{x}\\ \left( x_{3}-x_{1}\right) e_{3}^{x}-\left( z_{3}-z_{1}\right) e_{1}^{x}\\ \left( y_{3}-y_{1}\right) e_{1}^{x}-\left( x_{3}-x_{1}\right) e_{2}^{x}% \end{array} \right)$$

для некоторых$\lambda_z$, которую следует определить так, чтобы$e_{i}^{z}$есть вектор единичной длины. Окончательно$e_{i}^{y}$можно определить как вектор, перпендикулярный обоим$e_{i}^{x}$и$e_{i}^{z}$, т.е.

$$\left( \begin{array} [c]{c}% e_{1}^{y}\\ e_{2}^{y}\\ e_{3}^{y}% \end{array} \right) =\lambda_{y}\left( \begin{array} [c]{c}% e_{3}^{z}e_{2}^{x}-e_{2}^{z}e_{3}^{x}\\ e_{1}^{z}e_{3}^{x}-e_{3}^{z}e_{1}^{x}\\ e_{2}^{z}e_{1}^{x}-e_{1}^{z}e_{2}^{x}% \end{array} \right)$$

где снова$\lambda_{y}$определяется так, что$e_{i}^{y}$есть вектор единичной длины.

Как предполагает принятый ответ, сначала примените перевод$-P_1$ко всем точкам. Тогда ваши три очка$O,$ $A,$и$B$(где$A=P_2-P_1$и$B=P_3-P_1$). Теперь вычислите нормальную единицу плоскости:

$$n = \frac{A \times B}{| A\times B|}.$$

Чтобы повернуть плоскость на$xy$самолет, все, что вам нужно сделать, это повернуть$n$к$(0,0,1)$. Самый простой способ сделать это - повернуть$n$о$z$ось в плюс$x$половина$xz$плоскости, а затем вращаться вокруг$y$оси до$n$параллельно положительному$z$ось.

Вы также можете использовать формулу вращения Родригеса для вращения вокруг оси$n\times (0,0,1),$но эта матрица вращения намного сложнее, чем матрица вращения вокруг координатной оси.

Вычисление матрицы вращения, которая вращается$n$о$z$ось в плюс$x$половина$xz$плоскость не требует вычисления угла. Матрица вращения просто задается в терминах$n$:

$$R_z = \left( \begin{array}{lll} n_x/\sqrt{n_x^2+n_y^2} & n_y/\sqrt{n_x^2+n_y^2} & 0\\ -n_y/\sqrt{n_x^2+n_y^2} & n_x/\sqrt{n_x^2+n_y^2} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right).$$ Матрица вращения, которая вращается $n'=R_zn$о $y$ось к $(0,0,1)$также не требует вычисления угла. Это $$R_y = \left( \begin{array}{lll} n'_z & 0 & -n'_x \\ 0 & 1 & 0\\ n'_x & 0 & n'_z \end{array} \right).$$

Похоже, вам было бы полезно узнать, как представлять направление в 3D с помощью вектора направления. Это влечет за собой изучение того, как нормализовать вектор до единичной длины, что приводит к вектору направления.

Затем, как только вы освоитесь с этим, научитесь определять ориентацию (направление, перпендикулярное) плоскости трехмерного треугольника:

  o <-- normalize[(P2-P1) x (P3-p2)]   (vector cross product of 2 vector diffs)

Теперь вы хотите определить желаемое вращение 3D-координат, которое выравнивает ориентацию вашей плоскости треугольника с осью z. Опять же, используя перекрестные произведения, это 3 столбца матрицы вращения 3x3, которые вам нужны:

R = [ newXaxis newYaxis newZaxis ] (три ортогональных вектора направления)

По своему выбору вы выбираете значение o как newZaxis.

Две другие новые оси должны быть ортогональны оси newZ и друг другу. Нормализованное векторное векторное произведение дает взаимное ортогональное направление любым двум различным направлениям d1 и d2 (если они не совпадают или не противоположны):

новая ось X = нормализовать (новая ось X [ 1 0 0 ] )

(если newZaxis == [ 1 0 0 ], вместо этого используйте newXaxis = normalize(newZaxis x [ 0 1 0 ] )

новая ось Y = новая ось Z x новая ось Y

Теперь координатно поверните каждую точку вашего треугольника с помощью вращателя R:

p1' <-- R • p1 (вектор, умноженный на матрицу)

p2' <-- R • p2

p3' <-- R • p3

Вы заметите, что точки p1', p2' и p3' имеют одинаковые z-координаты. Вы можете выбросить их и просто использовать их координаты x и y. Вы фактически спроецировали свой треугольник на двухмерную плоскость xy.