Собственное состояние против коллапсной волновой функции

$\newcommand{\ket}[1]{\lvert #1 \rangle}$Нет такой вещи, как «выглядеть как коллапс волновой функции», даже если вы верите, что коллапс есть.

Давайте перейдем к конечномерному случаю и получим простую двухуровневую спиновую систему, т. е. наше гильбертово пространство натянуто, например, на определенные спиновые состояния в$z$-направление$\ket{\uparrow_z}$,$\ket{\downarrow_z}$.

Теперь, государство$\ket{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{\uparrow_z} + \ket{\downarrow_z})$не является собственным состоянием$S_z$, и измерение$S_z$сравняет его с равной вероятностью в$\ket{\uparrow_z}$или$\ket{\downarrow_z}$. Тем не менее, это собственное состояние спина в$y$-направление, т.е.$\ket{\psi} = \ket{\uparrow_y}$(или вниз, нам пришлось бы проверять это вычислением, но для данного аргумента это не имеет значения). Так что хоть и можно "развалиться"$\ket{\psi}$в другие состояния, по вашей логике это уже похоже на свернутое состояние. Это показывает, что понятие «похоже на свернутое состояние» не очень полезно для начала.

Кроме того, вы, кажется, не понимаете разницы между измерением (вызывающим коллапс в некоторых словарях) и применением оператора. Ты говоришь

Итак, когда гамильтониан действует на систему в одной из этих собственных функций, эта система всегда коллапсирует в одну и ту же точку пространства?

но это неразумно. Действие гамильтониана представляет собой бесконечно малый временной шаг, как говорит вам уравнение Шредингера:

и для собственного состояния$\ket{\psi_n}$, которое является решением стационарного уравнения с энергией$E_n$, у вас по определению $H\ket{\psi_n} = E_n\ket{\psi_n}$, то есть гамильтониан - это операция «ничего не делающая» над собственными состояниями, поскольку умножение на число не меняет квантовое состояние. В конце концов, именно поэтому нас интересуют решения стационарного уравнения — потому что это стационарные состояния, которые не эволюционируют во времени. Это не имеет ничего общего с коллапсом или измерением.

Наконец, точно определенные состояния положения не являются, строго говоря, квантовыми состояниями, поскольку «собственные функции» оператора положения «умножение на х» являются дельтами Дирака . $\psi(x) = \delta(x-x_0)$, которые не являются правильными интегрируемыми с квадратом функциями$L^2(\mathbb{R})$как обычно должны быть квантовые состояния. Но да, это "всплеск", и наоборот, состояния детерминированного импульса - это плоские волны$\psi(x) = \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\hbar}px}$.

Если данное состояние является собственным состоянием конкретной наблюдаемой, то эта наблюдаемая имеет стандартное отклонение 0, однако это ничего не говорит о распределении любых других наблюдаемых. Крайним примером этого являются собственные состояния положения и импульса; собственное состояние импульса представлено дельта-функцией в импульсном пространстве, но в пространстве оно представлено бесконечной плоской волной, и положение частицы совершенно неопределенно.

Собственное энергетическое состояние в квадратной яме является менее экстремальным примером. Его энергия прекрасно определена, но его волновая функция, которая говорит вам о распределении вероятностей для измерений положения, является синусоидальной волной. Другими словами, вы можете измерять энергию системы в этом состоянии столько раз, сколько хотите, и вы всегда будете получать один и тот же результат, но если вы поместите ряд частиц в коробки, все в одном и том же собственном энергетическом состоянии и измерите там позиции, вы обнаружите, что получаете случайные результаты с распределением, заданным квадратом модуля волновой функции.