Время в общей теории относительности

Физическая величина вводится ее операциональным определением.

Да. Отличный. А физические величины будут включать в себя такие факты, как получение наблюдателем одного сигнала между получением двух других сигналов или видит одну метку между двумя другими метками (часы и линейки разработаны на этих принципах).

В общей теории относительности мы используем дифференциальное многообразие для описания 4-мерного пространства-времени [...]

Правильный.

[...] и, чтобы определить точку в нем, мы используем систему отсчета.

Нет. Готовое многообразие имеет точки, которые в теории относительности называются событиями. Вы можете маркировать их как угодно. Так же, как вы могли бы дать наблюдателям имена, такие как Алиса или Боб. Это может помочь вам в общении. Но просто сказать метку кому-то, кто не знает, как вы присвоили ей метку, не является физическим.

Этот кадр состоит из начала координат и четырех координат, времени и трех пространственных координат.

Звучит как глобальная система отсчета в специальной теории относительности.

Если мы хотим практически идентифицировать событие в пространстве-времени, как [можем] мы измерить его пространственно-временную координату, особенно время?

Координаты сами по себе не являются физическими. Если вы посмотрите на две точки, вы не сможете определить их координату x, может быть, одна из них является началом координат, а может быть, и другая, существует множество возможных систем координат. Это не рабочее определение.

Вы могли бы спросить о так называемом интервале между двумя событиями на пути, и если бы события были бесконечно малы, вы могли бы говорить об интервале между ними, не указывая путь.

Но нельзя смотреть на физику и из физики произвольно что-то вычислять, например, каковы координаты в какой-то системе координат.

Это уже происходило в обычной ньютоновской механике, начало координат могло быть где угодно, ось x могла указывать в любом направлении.

С часами по соседству с пространственным расположением события? С помощью какой-то особой «игры» светового сигнала?

Это может помочь вам найти интервал между двумя событиями. Он по-прежнему не может сказать вам, является ли то или иное событие началом в какой-то произвольной системе координат b, поскольку есть системы координат, в которых одна является началом, другие, где другая, и еще больше, где ни одна из них не является, даже координатной. патчи, источником которых не является событие.

Помните ньютоновскую механику, когда начало координат могло быть где угодно, а ось x могла указывать в любом направлении? В специальной теории относительности источником может быть любое событие, а ось времени может указывать в любом времениподобном направлении (любое направление, касающееся мировой линии массивного наблюдателя или, что то же самое, имеющее касательную со знаком времени, подобным квадрату интервала).

Это распространяется на общую теорию относительности, у вас нет глобальных систем отсчета (вот что означает общая теория относительности), но по-прежнему имеет место случай, когда касательная к наблюдателю (независимо от того, как быстро он движется с субсветовой скоростью или какой направление, в котором движется скорость) может быть осью времени для участка локальной координаты.

Таким образом, данное событие может быть источником локального участка координат или нет. Так что его координаты могли быть нулевыми... или нет. И это может быть исходная точка одних участков координат, а не исходная точка других.

И различия в координатах не имеют физического смысла. На самом деле вы записываете метрику в системе координат, потому что можете использовать ее для вычисления физических вещей из системы координат.

Итак, физика такова: «Система координат + метрика в этой системе координат = физически значимые результаты».

Какие физически значимые результаты вы можете получить? Учитывая координатный путь (параметризованный набор координат), вы можете использовать метрику, чтобы узнать, является ли путь возможным путем наблюдателя, увидев, является ли интервал касательной к кривой времениподобным (метрики позволяют вам вычислять интервалы). Если это так, то вы можете разбить его на обычные части, каждая из которых имеет одинаковую длину дуги, где длина дуги измеряется не разностью координат, а интервалом, который вы получаете из метрики.

Теперь вы можете связать это с часами. Если часы проходят этот путь, они будут отмечать одинаковое количество часов на каждом из этих путей.

Итак, теперь вы можете предсказать, сколько тиков часов происходит между событием, когда ваш путь пересекает два других события. Это что-то физическое. И этот прогноз получается одинаковым независимо от того, какую систему координат вы использовали.

Если вы используете другую систему координат, все координаты другие, и метрика, возможно, имеет другие значения, но вы вычисляете интервал между событиями таким же образом. Таким образом, вы согласитесь, являются ли касательные времениподобными, и вы согласитесь о том, какие события разбивают заданную рейку от события A до события B на 2, 3, ... или 100 частей одинаковой длины дуги, когда длина дуги измеряется интервалом.

Таким образом, вы соглашаетесь с физикой, независимо от вашей системы координат. Замечательно. Но это означает, что вы не можете провести эксперимент, чтобы узнать «эти» координаты события, потому что они не уникальны или нефизичны.

Что вам нужно сделать, это сделать модель. Вы делаете математическую вещь, а затем утверждаете, что определенные ее части соответствуют вещам в реальности, которые совпадают, затем вы смотрите на другие части модели и извлекаете из них свои прогнозы. Координаты, которые вы используете (если есть) в своей модели, не имеют значения. Конечно, вы можете использовать интуитивно понятные инструменты, чтобы облегчить себе жизнь, но это не делает их физическими, а просто удобными для вас.

А я сказал "если есть", потому что даже использование координат вообще не требуется. Все, что вам действительно нужно знать, это произошло ли событие между двумя определенными отметками часов или на линейке есть две определенные отметки по обе стороны от объекта. Это то, что у вас есть в лаборатории. Если вы на самом деле поместите линейку и часы в свою модель, тогда эта информация уже есть, и вам не нужно добавлять систему координат.

Что делает общая теория относительности, так это ограничивает, какие модели вы можете создавать, она ограничивает вас созданием только моделей, которые удовлетворяют уравнению поля Эйнштейна. Если у вас есть один из них, вам не нужно выбирать систему координат, если в модели уже есть нужная вам информация.

На ваш вопрос нет простого ответа, потому что это зависит от обстоятельств.

Насколько мне известно, эта проблема возникает в лаборатории только при гравитационном замедлении времени, например, в экспериментах с атомными часами или спутниками GPS. В этом случае я бы предположил, что мы будем использовать электромагнитные сигналы (свет или радио) и сделать поправку на известное время в пути.

В астрономическом контексте единственным очевидным примером, который я могу привести, является гравитационное линзирование. В этом случае мы не наблюдаем траекторию света напрямую, а вместо этого вычисляем ее, наблюдая, как свет достигает нас.

Наблюдения за далекими событиями всегда немного сомнительны в контексте общей теории относительности. Мы можем связать любое событие с точкой пространства-времени в нашей системе координат, но физический смысл этого остается открытым. Только локальные наблюдения совершенно однозначны.