Квантово-механические операторы в аргументе экспоненты

Начиная с:

$$U(t,t_i) = e^{\frac{-i}{\hbar }H(t-t_i)}$$

Если$t_i=0$:

$$U(t,0) = e^{\frac{-i}{\hbar }Ht}$$

Использование личности:$\sum\limits_i \left|\lambda_i\right>\left<\lambda_i\right|=\mathbb{I}$

$$U(t,0) = \sum\limits_i e^{\frac{-i}{\hbar }Ht}\left|\lambda_i\right>\left<\lambda_i\right|$$

Поскольку экспонента оператора (расширение Тейлора):$e^H=\mathbb{I}+H+\frac{1}{2}H^2+\dots$

И:$H\left| \lambda_i \right> =\lambda_i \left| \lambda_i \right>$

Вы должны увидеть, что:

$$U(t,0) = \sum\limits_i e^{\frac{-i}{\hbar }\lambda_it}\left|\lambda_i\right>\left<\lambda_i\right|$$

Без потери общности возьмем$|\lambda_i\rangle$быть ортонормированным. Обратите внимание, что по спектральной теореме гамильтониан можно записать следующим образом:

$$H = \sum_i \lambda_i P_i, \qquad P_i = |\lambda_i\rangle\langle \lambda_i|$$ Каждый оператор $P_i$является проектором на подпространство, натянутое на $|\lambda_i\rangle$. Обратите внимание, в частности, что $$P_i^2 = P_i, \qquad P_iP_j = P_jP_i = 0$$ и аргумент математической индукции дает $$P_i^n = P_i$$ для всех $n\geq 1$. Теперь для простоты обозначений пусть $$\mu = -\frac{i}{\hbar}t$$ Тогда у нас есть $$U(t,0) = e^{\mu H} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\mu^nH^n$$ но обратите внимание, что, используя свойства проекционных операторов, написанные выше, мы имеем $$H^n = \sum_{i_1, \dots, i_n}\lambda_{i_1}\cdots\lambda_{i_n}P_{i_1}\cdots P_{i_n} = \sum_i\lambda_i^nP_i$$ и поэтому $$U(t,0) = \sum_i\sum_n\frac{1}{n!}(\mu\lambda_i)^nP_i = \sum_ie^{\mu\lambda_i}P_i$$ по желанию.