Собственные состояния в КТП и амплитуда полевого оператора

Лучше всего подойдет слишком подробный текст QFT Ициксона и Зубера, вставка в 3.1.2. Они объясняют, что ваше слишком наивное выражение (1) дает собственные состояния$\hat \phi (x)_-$, нет$\hat \phi (x)$. Ответ, который вы цитируете, четко предупреждает вас, что это не собственное состояние оператора поля. (Кстати, ваш$|f(x)\rangle$действительно должно быть$|f\rangle$, так как он покрывает все x s. Аргумент — это функция, а не ее значение при некотором x .)

Вместо того, чтобы погибнуть в кошмаре последовательных преобразований Фурье, безудержной индексации и нормализации для обеспечения лоренц-инвариантности и эрмитовости, я дам вам простую подсказку .

Я уберу весь бесконечный набор осцилляторов КТП, оставив только один, и напомню вам об основных маневрах когерентного состояния, набросав схему следа для вашего доказательства, включающего бесконечное число осцилляторов.

Итак, просто оставьте один осциллятор и перейдите сюда ; здесь ; и здесь для технических деталей.$\hat \phi$здесь соответствует$\hat x$,$\hat \phi_+$к$a^\dagger$, но$\hat p$в каноническое сопряженное поле$\pi$; явно не твой лейбл осциллятора , пушинка, для твоего$|\vec p\rangle$, которое здесь сократилось до единственного значения (вместе с вашей меткой x fluff).

Отзывать$[a , a^\dagger ]=1$. Затем, принимая x=f за вашу классическую конфигурацию, здесь, местоположение,

$$|f\rangle = N(f) ~ \exp\left ( -\frac{(a^\dagger -f\sqrt{2})^2} {2}  \right )|0\rangle   \Longrightarrow  \hat{~x}~|f\rangle=f|f\rangle,\\ |p\rangle= N(p) ~ \exp \left( \frac{(a^\dagger +ip\sqrt{2})^2}{2}   \right ) |0\rangle  \Longrightarrow  \hat{~p}~|p\rangle=p|p\rangle ~.$$ Вы можете попытаться исправить$N(x)=e^{x^2/2}/\pi^{1/4}$от$\langle 0|x\rangle$, основное состояние Шредингера осциллятора. (Действительно, N является обратным гауссиану!) Затем показано, что $$\langle p |x\rangle= e^{ixp}/ \sqrt{2\pi}.$$ Основной маневр заключается в том, что a действует как производный оператор на$a^\dagger$s в экспонентах.

Аналогом сопряженной вашей амплитуды (2) здесь является

$$\langle 0| a |f\rangle = \langle 0|f\sqrt{2}-a^\dagger|f\rangle= f\sqrt{2} ~ \langle 0 |f\rangle =f\sqrt{2}~e^{-f^2/2}/\pi^{1/4}.$$ Я не уверен, что вы узнали бы из этого для изолированного осциллятора и, тем более, для скалярной теории поля, но это так.

Обратите внимание, что если бы вы сохранили в показателе степени только перекрестные члены, т. е. если бы вы отбросили квадратичный член в показателе степени, вы бы получили тот же самый ответ для (2), поскольку функция оперативного сдвига а есть то же самое для когерентных состояний в КМ!

Конечно, настоящий Маккой здесь не что иное, как само государство,

$$\frac{ a +a^\dagger}{\sqrt{2}} |f\rangle = f |f\rangle .$$ Это могло бы помочь пролить свет на роль квадратичного члена в показателе степени: удаление этого квадратичного члена в показателе степени дало бы собственное состояние просто a .