Собственные векторы четырехмерного вращения и их интерпретация

Давайте определим четырехмерное вращение, используя два единичных кватерниона:

д ˚ л "=" а + я б + Дж с + к д | а + я б + Дж с + к д |
и
д ˚ р "=" е + я б + Дж с + к д | е + я б + Дж с + к д | .
Они отличаются только действительным членом (знаменатели только для нормализации). И рассмотрим два случая: а , б , с , д , е е р в первом случае и а , б , с , д , е е С во втором случае - это будут бикватернионы. Теперь рассмотрим вращение произвольного (неединичного) кватерниона д ˚ так что:

д ˚ р о т а т е д "=" д ˚ л д ˚ д ˚ р *

(обратите внимание на сопряжение д ˚ р ). Я могу представить это четырехмерное вращение с помощью 4 × 4 матрица вращения, и, таким образом, я могу найти собственные значения и собственные векторы этой матрицы. Вопрос в том, как интерпретировать собственные векторы такого вращения?

В трехмерных вращениях инвариантный вектор (вектор, который не вращается) является осью вращения, а собственное значение должно быть равно 1 (потому что это вращение, поэтому здесь нет конкретной интерпретации). В четырехмерных вращениях я знаю, что есть две плоскости, вокруг которых происходит вращение, но являются ли эти плоскости инвариантом вращения? Если да, то как я могу описать эту плоскость как кватернион собственного вектора - будет ли такой кватернион «вектором нормали» этой плоскости, аналогичным трехмерному пространству, где вектор нормали плоскости - это просто трехмерный вектор?

Чем это отличается между кватернионами и бикватернионами ?

Обратите внимание, что поскольку е ≠ а нормализованный кватернион д ˚ р будет сильно отличаться от д ˚ л - все мнимые компоненты единичного кватерниона (создаваемые б , с , д ) на самом деле будет другим, благодаря нормализации.

У плоскостей нет нормальных векторов в 4d. У них «нормальные» (или сдвоенные) плоскости. Вращение в 3d оставляет инвариантным вектор (ось) и инвариантную плоскость (плоскость вращения). Вращение, где либо д ℓ или д р является 1 оставляет плоскость вращения и нормальную плоскость неизменными. Мне пока непонятно, что остается неизменным при вращении с неединством обоих роторов.
ваш ответ означает, что полученный кватернион собственного вектора нельзя интерпретировать как «нормальный» вектор инвариантной плоскости, поскольку такие плоскости не могут иметь «нормальных векторов». Спасибо, это подсказка в правильном направлении. (И что мы не знаем, будут ли эти плоскости инвариантными). Но все равно остается вопрос - как интерпретировать полученные собственные векторы?

Ответы (1)

Честно говоря, мне трудно геометрически интерпретировать то, что здесь происходит, используя кватернионы, бикватернионы или что-то еще. Вся алгебра вращений в 4d адекватно обрабатывается геометрической алгеброй, причем элементы этой алгебры имеют четкие геометрические интерпретации. Математика аналогична кватернионам, но отличается некоторыми концептуальными способами.

Хорошо, Муфрид, что такое геометрическая алгебра и как она может помочь нам в разговоре о вращениях?

Геометрическая алгебра является разновидностью алгебры Клиффорда. Он постулирует «геометрическое произведение» между векторами, которое обозначается сопоставлением, поэтому геометрическое произведение двух векторов а и б обозначается а б . Этот продукт обладает следующими свойствами:

а а "=" | а | 2 , ( а б ) с "=" а ( б с )

Благодаря этим двум свойствам вы получаете множество полезных структур, дополняющих традиционную векторную алгебру. Здесь наиболее уместны бивекторы , представляющие ориентированные плоскости. Учитывая четыре ортонормированных базисных вектора е 1 , е 2 , е 3 , е 4 , вы получите следующие единичные бивекторы:

Бивекторы: е 1 е 2 , е 2 е 3 , е 3 е 1 , е 1 е 4 , е 2 е 4 , е 3 е 4

Геометрическое произведение векторов также производит объекты, называемые роторами , которые являются аналогами кватернионов в том, что они выполняют вращения. Например, в 3D вы можете перемножить два вектора. а и б чтобы получить следующее:

а б "=" ( а 1 б 1 + а 2 б 2 + а 3 б 3 ) + ( а 2 б 3 − а 3 б 2 ) е 2 е 3 + ( а 3 б 1 − а 1 б 3 ) е 3 е 1 + ( а 1 б 2 − а 2 б 1 ) е 1 е 2

У него четыре члена, как у кватерниона. На самом деле, вы можете сделать следующие идентификации:

я "=" − е 2 е 3 , Дж "=" − е 3 е 1 , к "=" − е 1 е 2

Одно из преимуществ геометрической алгебры перед кватернионами заключается в том, что кватернионы должны выполнять двойную функцию: вы используете чисто мнимые кватернионы для представления векторов. GA этого не делает; векторы и роторы четко разделены в соответствии с их геометрическими свойствами и функциями. Вы бы никогда не перепутали е 1 --вектор--с е 1 е 2 -- бивектор.

Но Муфрид, а что насчет 4д? Разве это не то, что нас интересует здесь?

Хорошо, давайте поговорим о геометрической алгебре 4d евклидова пространства. Как я уже сказал, есть шесть единичных бивекторов, и вы могли заметить, что когда вы говорите о двух кватернионах, задействовано шесть мнимых векторов. Не случайно. GA позволяет нам справиться с этим напрямую, вместо того, чтобы взламывать кватернионы, чтобы заставить все это работать.

Вот как: есть важная концепция двойственности, которую мы представляем посредством умножения на псевдоскаляр , который я буду называть ϵ "=" е 1 е 2 е 3 е 4 . Псевдоскаляр, умноженный на бивектор, возвращает соответствующий ортогональный бивектор. Давайте посмотрим, как:

ϵ е 1 е 2 "=" − е 3 е 4 , ϵ е 2 е 3 "=" − е 1 е 4 , ϵ е 3 е 1 "=" − е 2 е 4

Вот почему вы можете обойтись без использования двух кватернионов или бикватернионов: любой бивектор может быть выражен в виде линейной комбинации, например:

Б "=" ( α е 1 е 2 + β е 2 е 3 + γ е 3 е 1 ) + ϵ ( λ е 1 е 2 + мю е 2 е 3 + ν е 3 е 1 )

Снова, ϵ "=" е 1 е 2 е 3 е 4 , и ϵ ϵ "=" − 1 , как это происходит. Он действует как еще одна воображаемая единица, разделяющая очень сложные роторы 4d на 2 3d-подобных ротора.

Итак, Муфрид, что это говорит нам о собственных векторах (или собственных бивекторах, или собственных роторах) общей операции вращения в 4d?

Их легче всего понять, используя двойное изоклиническое разложение.

Пусть общий бивектор вращения задан как Б "=" U + ϵ В , где U , В представляют собой линейные комбинации е 1 е 2 , е 2 е 3 , е 3 е 1 . Позволять я ± "=" ( 1 ± ϵ ) / 2 , то мы можем переписать Б как

Б "=" я + Икс + я − Д , Икс "=" ( U + В ) / 2 , Д "=" ( U − В ) / 2

Вращения с использованием я + Икс и я − Д оба являются «изоклиническими», что означает, что каждый из них вращается в двух ортогональных плоскостях на один и тот же угол. Соответствующее вращение принимает вид

р _ ( а ) "=" я + опыт ⁡ ( Икс ) а опыт ⁡ ( − Д ) + я − опыт ⁡ ( Д ) а опыт ⁡ ( − Икс )

За исключением особых случаев, когда Икс и Д линейно зависимы, я не вижу отдельных векторов, которые в общем случае были бы собственными векторами.

Для собственных бивекторов степенной ряд экспоненциального опыт ⁡ ( Б ) говорит нам, что Б и ϵ Б оба являются собственными бивекторами, что значительно упрощает анализ.

Таким образом, в случае собственных бивекторов мы имеем: U , ϵ В , ϵ U и − В . И эти четыре плоскости остаются неизменными при вращении, если я правильно вас понял. Я также прав, что эти 4 собственных бивектора можно использовать для создания 6 разных плоскостей (бивекторов?), которые также останутся неизменными во время вращения? Мой ход рассуждений таков: если 4 собственных бивектора не меняются во время вращения, то же самое происходит и с их произведением.
Простите меня, кажется, я был неясен. Б "=" U + ϵ В еще так U + ϵ В и ϵ U − В являются собственными бивекторами поворота через бивектор Б . Я не думаю, что вы можете разбить их на части и сделать вывод, что эти части сами по себе являются собственными бивекторами. Вследствие линейности это означает, что Д и ϵ Икс также являются собственными бивекторами, но они не являются линейно независимыми от Б и ϵ Б .
Собственные векторы четырехмерного вращения и их интерпретация
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v