Irrep соответствует вращению, какое определение?

Про точечные группы я узнал давно. Но я попробую.

Я полагаю, что речь идет о матричном представлении в базисе$(x,y,z)$, и в этом случае они имеют знакомый вид$3\times 3$матрицы вращения. Но не совокупность всех $3\times 3$матрицы вращения! Есть (как вы сказали) 8 операций симметрии$C_3$тип, который в основном представляет собой вращение по часовой стрелке и против часовой стрелки$120^\circ$вокруг четырех осей третьего порядка объекта с тетраэдрической симметрией. Каждая из них может быть представлена$3\times 3$матрица вращения, а те, что касаются$z$-ось принимает форму, указанную в вашем вопросе. Просто принято ориентировать систему так, чтобы$z$лежит вдоль этой оси высокой симметрии. Неправда, что генерал $R_z$с произвольным$\theta$соответствует$T$неприводимое представление: просто матрицы вращения, соответствующие определенным углам и осям операций симметрии.

Ключевым моментом является то, что характер операции задается следом представителя матрицы в каждом случае. Для$C_3^+$и$C_3^-$операции по поводу$z$,$\theta=\pm120^\circ=\pm2\pi/3$,$\cos\theta=-\frac{1}{2}$и видно, что след матрицы в вашем вопросе равен нулю, что и отображается в таблицах символов. То же верно и для всех других матриц, представляющих другие$C_3^\pm$операции относительно других осей: хотя они имеют в общем более сложный вид, их объединяет одно свойство: след матрицы поворота всегда $1+2\cos\theta$где$\theta$это общий угол поворота. (Аналогичным образом для$C_2$операции, для которых матрицы вращения соответствуют$\theta=180^\circ=\pi$,$\cos\theta=-1$, символ, рассчитанный по трассе, равен$1+2\times(-1)=-1$, и это число появляется в таблицах символов.)

К элементам базиса применяется матрица, представляющая операцию симметрии . В вашем вопросе вы, кажется, рассматриваете возможность применения операции вращения ($C_3$) в матрицу вращения ($R_z$), а это не то, как все работает (под этим я подразумеваю бесполезность в определении символов, появляющихся в таблицах символов для различных операций в трехмерном пространстве).$T$неприводимое представление).

Как предположили различные комментаторы, я уверен, что на Chemistry StackExchange есть более широкие общие знания о точечных группах. Это центральное место в понимании молекулярной симметрии и атомных орбиталей в кристаллических полях, поэтому здесь обязательно будет много опыта. Так что, если этот ответ не помогает, а лучшего никто не предлагает, вам обязательно стоит попробовать там. Но, надеюсь, в этом есть какой-то смысл.

[Изменить, следуя комментариям OP]. Несколько моментов, на которые нужно ответить.

Да, главная особенность признака в том, что он инвариантен к замене базиса (преобразованию подобия) и, следовательно, связан со следом матрицы преобразования, которая обладает этим свойством.

не согласен с терминологией

такой ирреп (представляющий вращение высшего порядка в группе)

Набор матриц в целом составляет представление (для данного базиса). Подмножества этих матриц будут соответствовать сопряженным операциям, т. е. операциям, принадлежащим одному и тому же классу : эти матрицы одного класса будут иметь одинаковый характер. Как правило, они включают операции одного и того же типа, но выполняются по отношению к элементам симметрии, которые (сами) связаны операцией симметрии.

Это означает, что не обязательно верно, что подобные виды операций, выполняемые относительно «другого типа оси вращения», будут иметь одинаковый характер. Все зависит от иррепа, который, в свою очередь, связан с базисом: количеством и видом функций, которые преобразуются между собой при преобразованиях. Я говорил только об этом конкретном случае$(x,y,z)$базис, в котором матрицы являются известными$3\times 3$матрицы вращения (потому что фактически мы вращаем векторы). Для$D_{8h}$группе не существует соответствующего 3-мерного иррепрезентации. Существуют различные неэквивалентные двойные оси (разные классы) и различные одно- и двумерные иррепы: в таблице символов есть разные символы в зависимости как от иррепа, так и от типа оси (класса). Вам нужно будет посмотреть на матрицу для простого примера каждого случая, чтобы определить характер.

Переходя к группе икосаэдра, существует трехмерная$T_1$ирреп, который преобразует основу$(x,y,z)$, и, насколько я могу судить, это соответствует шаблону, который я описал выше. На странице Википедии символ для$C_5$дается как$2\cos\theta$где$\theta=\pi/5$, а это равно$1+2\cos 2\pi/5$(угол поворота$2\pi/5$). Однако есть еще один трехмерный нерепрезентант,$T_2$, для которого характер для$C_5$отличается. Так что операции разные. Они все еще вращаются через$2\pi/5$, но преобразуемые объекты не являются простыми векторами . Вам нужно будет найти подходящую основу для этого иррепа, я недостаточно знаком с ним. Как правило, матрицы соответствуют как выполняемой операции, так и вращаемым вещам. (Или, в более общем случае, отраженные и т. д.).

Опять же, я надеюсь, что это немного проясняет ситуацию. Это не совсем просто. Вы можете найти полезную книгу: «Химические приложения теории групп» Ф.А. Коттона, которая полна, но могут быть и более современные альтернативы.