Сохранение импульса в колыбели Ньютона при неупругих столкновениях

Я не думаю, что это плохой вопрос - я не понимаю отрицательных голосов. Подобные проблемы меня тоже смущали, и я не чувствую, что какие-либо комментарии или ответы до сих пор действительно доходили до сути проблемы.

Давайте немного подумаем о вашей настройке. У вас есть игрушка-колыбель Ньютона в вакууме, поэтому она изолирована от сопротивления воздуха. Но на него по-прежнему действует гравитация, а это значит, что он должен лежать на поверхности. Вы не указали, свободна ли эта поверхность от трения, поэтому я рассмотрю оба случая.

Случай 1: люлька опирается на поверхность без трения.

В этом случае у вас есть шар массой$0.1\,\mathrm{kg}$двигаться в$1\,\mathrm{ms}^{-1}$, который попадает в объект массы$0.4\,\mathrm{kg}$двигаться в$0\,\mathrm{ms}^{-1}$, а именно оставшиеся четыре шара. Небольшое количество энергии превращается в тепло при столкновении, а это значит, что 5-й шар выходит из столкновения со скоростью$(1-\varepsilon)\,\mathrm{ms}^{-1}$, где$\varepsilon$какое-то маленькое число. Это означает, что для сохранения импульса оставшиеся четыре шара не будут полностью стационарными, а вместо этого будут двигаться со скоростью примерно$\varepsilon/4 \,\mathrm{ms}^{-1}$в том же направлении, что и исходный мяч. (На самом деле нам следует беспокоиться о массе рамы, динамике струн и так далее, но я проигнорирую все это.)

Это будет происходить неоднократно, пока шары не остановятся относительно друг друга, после чего объединенная система из 5 шаров будет иметь импульс исходного шара в момент первого столкновения, а это означает, что, когда он остановится, вся система будет скользить со скоростью$1/5 \,\mathrm{ms}^{-1}$по поверхности без трения.

Случай 2: поверхность имеет трение.

Теперь давайте предположим, что трение достаточно велико, чтобы люлька не двигалась относительно поверхности, на которой она стоит. В этом случае мяч сталкивается с объектом, состоящим из четырех шаров, рамы, поверхности, к которой он прикреплен, и планеты, которая к нему прикреплена. Как только шары остановятся, вся Земля получит немного дополнительного импульса, но, поскольку ее масса настолько велика, мы обычно не утруждаем себя этим. Вообще говоря, когда у нас происходит неупругое столкновение с неподвижным объектом, мы просто рассматриваем импульс как не сохраняющийся при этом столкновении.

Реальная динамика, конечно, сложнее. Импульс сначала передается от движущегося к другим четырем шарам таким же образом, как описано выше, затем он передается на рамку, затем в локальную область земной коры, где он некоторое время будет отражаться в виде сейсмических волн, прежде чем в конечном итоге распространяется равномерно по всей планете.

Я думаю, что для того, чтобы понять ваше непонимание, мы должны рассмотреть условия сохранения импульса: импульс сохраняется до тех пор, пока на рассматриваемую систему не действует результирующая внешняя сила. В простом случае в вакууме действует даже трение между шариками или между струнами и стойкой. Могут быть даже другие силы, не перечисленные здесь, о которых вы могли бы подумать. Но, в сущности, именно поэтому в данном случае не сохраняется импульс: потому что он неидеален. Следовательно, энергия рассеивается в виде тепла или звука (если мы добавим среду), в результате чего шары теряют энергию и, следовательно, скорость / линейный импульс.

Давайте еще немного упростим. Предположим, что мячей всего два, и они сделаны из влажной глины. Один шар качается навстречу другому и прилипает — совершенно неэластичный.

Вы, вероятно, уже сделали математику для таких столкновений. Импульс сохраняется, кинетическая энергия - нет. После этого оба мяча имеют одинаковую скорость. Результат - скорость$0.5$РС. Импульс тот же, что и раньше. Половина кинетической энергии превращается в тепло, а половина остается в виде кинетической энергии. Конечным состоянием является то, что оба мяча качаются вперед и назад вместе.

Для$5$стальные шарики, постепенно теряющие кинетическую энергию, конечное состояние тоже будет примерно таким. Все$5$шары качаются вперед и назад вместе.

Вы можете показать это экспериментально, соединив два шарика посередине очень маленьким кусочком резинки. Обычно шары похожи на чрезвычайно жесткие пружины. Они слегка деформируются и нажимают на следующий шарик. Это такая маленькая и быстрая деформация, что вы ее не видите. Но жевательная резинка деформируется и преобразует часть этой энергии в тепло.

Иначе обстоит дело, если учесть трение о воздух. Теперь силы не все между мячами. Воздух вне системы. Шарики толкают воздух и замедляются. Воздух ускоряется и уносит энергию и импульс. Мы не учитываем импульс вне системы. Мы видим, что импульс и кинетическая энергия системы уменьшаются. Он не сохраняется в системе, потому что система не изолирована. В конце концов все шары остановятся.

Конечно, вы всегда можете выбрать более крупную систему, которая считает воздух. Возможно, вам придется поработать над этим, но вы поместите все это в ракету в космосе, где снаружи нет воздуха. В этом случае у вас снова будет изолированная система. Если вы сложите импульсы шаров, воздуха и других частей ракеты, вы обнаружите, что импульс сохраняется. Конечным состоянием этой системы является то, что шары остановились, и воздух перестал дуть. Вся кинетическая энергия превращается в тепло.

В этой ракете сохраняется импульс. Когда шары будут раскачиваться взад-вперед, вся ракета будет немного двигаться в противоположном направлении. Общий импульс не меняется.

Вы, кажется, отвергаете тот факт, что сохранение импульса означает сохранение вектора импульса. Если рассматривать начальное состояние непосредственно перед первым столкновением, то с левой стороны начальный импульс равен 0,1 кг м/с в направлении горизонтали вправо. Как только последний шар справа движется вверх, импульс уже меняется. Он будет изменяться как по величине, уменьшаясь до нуля, так и по направлению, приобретая вертикальную составляющую. Затем есть точка, где его импульс равен нулю, а затем движение меняется на противоположное. Таким образом, у вас есть непрерывное изменение импульса задолго до того, как вы увидите эффекты трения или другие диссипативные эффекты. Почему импульс не сохраняется? Условием сохранения является отсутствие внешних сил, а здесь это не так. Вы можете ожидать сохранения только в том случае, если вы берете состояния непосредственно перед столкновением и сразу после столкновения между двумя шарами. Или даже до первого столкновения и прямо перед тем, как последний шар начнет подниматься. Но после этого натяжение струны и гравитация изменяют импульс.