Задачи двух тел

Question

Задачи двух тел

Петерсон

Я сам изучаю проблему двух тел, и я застрял на следующем:

Я дал

{\ddot{\vec{Икс}}}_{1} "=" - г м_{2} \frac{{\vec{Икс}}_{1} - {\vec{Икс}}_{2}}{| {\vec{Икс}}_{1} - {\vec{Икс}}_{2} |^{3}}

$\ddot{\vec{x}}_1= - G m_2 \frac{\vec{x}_1-\vec{x}_2}{|\vec{x}_1-\vec{x}_2|^3}$ и

{\ddot{\vec{Икс}}}_{2} "=" - г м_{1} \frac{{\vec{Икс}}_{2} - {\vec{Икс}}_{1}}{| {\vec{Икс}}_{1} - {\vec{Икс}}_{2} |^{3}}

$\ddot{\vec{x}}_2= - G m_1 \frac{\vec{x}_2-\vec{x}_1}{|\vec{x}_1-\vec{x}_2|^3}$ с массами

m_{1}, m_{2}

$m_1,m_2$ на позиции

x_{1}, x_{2}

$x_1,x_2$ и гравитационная постоянная

G

$G$ .

Как вы можете показать только с помощью этих двух уравнений, что общий импульс $m_1\dot{\vec x_1}+m_2\dot{\vec x_2}$ постоянна во времени?

И почему полная механическая энергия

\frac{1}{2} м_{1} | \dot{{\vec{Икс}}_{1}} |^{2} + \frac{1}{2} м_{2} | \dot{{\vec{Икс}}_{2}} |^{2} - \frac{г м_{1} м_{2}}{| {\vec{Икс}}_{1} - {\vec{Икс}}_{2} |}

$\frac12m_1|\dot{\vec x_1}|^2+\frac12m_2|\dot{\vec x_2}|^2-\frac{Gm_1m_2}{|\vec{x}_1-\vec{x}_2|}$ сохраняется?

Ответы (2)

Задачи двух тел

Ашиш Гаурав · Answer 1

Хорошо, первая часть: чистая сила $\vec{F}=m_1 \ddot{\vec{x}}_1+m_2 \ddot{\vec{x}}_2=\vec{0}$ , поэтому согласно второму закону Ньютона полный импульс сохраняется (или сила - это скорость изменения импульса, если общая сила равна нулю, общий импульс не изменяется), а вторая часть: не существует какой-либо неконсервативной силы, поэтому сохраняется механическая энергия.

Неконсервативный-? Это сила, которая совершает ненулевую работу при движении туда и обратно. Скажем, взять трение. Вы тащите блок по неровному полу, тогда общая работа $-fl+(-fl)$ где $l$ является длиной в одну сторону. Попробуйте это с гравитацией. Суммарная работа тогда равна нулю. Вот почему гравитация консервативна. Помните, как правило, только если действуют силы NC, механическая энергия изменяется, в противном случае она постоянна.

есть ли способ для первой части, просто используя два уравнения без каких-либо других инструментов?
@peterson: я не понимаю, о каких инструментах вы говорите. Что бы я ни говорил, это были ньютоновские основы. $\vec{F}=m_1 \ddot{\vec{x}}_1+m_2 \ddot{\vec{x}}_2={\vec{dp} \over dt}=\vec{0}$ . Из этого следует $\vec{p}$ постоянно.

джошфизика · Answer 2

Ашиш уже по существу сказал это, но, используя только уравнения движения, мы можем показать сохранение полного количества движения с помощью следующего вычисления:

\begin{aligned} \frac{д}{д т} (м_{1} \dot{{\vec{Икс}}_{1}} + м_{2} \dot{{\vec{Икс}}_{2}}) & "=" м_{1} \ddot{{\vec{Икс}}_{1}} + м_{2} \ddot{{\vec{Икс}}_{2}} \\ "=" м_{1} (- г м_{2} \frac{{\vec{Икс}}_{1} - {\vec{Икс}}_{2}}{| {\vec{Икс}}_{1} - {\vec{Икс}}_{2} |^{3}}) + м_{2} (- г м_{1} \frac{{\vec{Икс}}_{2} - {\vec{Икс}}_{1}}{| {\vec{Икс}}_{1} - {\vec{Икс}}_{2} |^{3}}) \\ "=" \frac{г м_{1} м_{2}}{| {\vec{Икс}}_{1} - {\vec{Икс}}_{2} |^{3}} [- ({\vec{Икс}}_{1} - {\vec{Икс}}_{2}) - ({\vec{Икс}}_{2} - {\vec{Икс}}_{1})] \\ "=" 0 \end{aligned}

$\begin{align} \frac{d}{dt}(m_1\dot{\vec x_1} +m_2\dot{\vec x_2}) &= m_1\ddot{\vec x_1} +m_2\ddot{\vec x_2} \\ &= m_1\left(- G m_2 \frac{\vec{x}_1-\vec{x}_2}{|\vec{x}_1-\vec{x}_2|^3}\right) + m_2\left(- G m_1 \frac{\vec{x}_2-\vec{x}_1}{|\vec{x}_1-\vec{x}_2|^3}\right) \\ &= \frac{Gm_1m_2}{|\vec{x}_1-\vec{x}_2|^3}\Big[-(\vec x_1 - \vec x_2) - (\vec x_2-\vec x_1)\Big] \\ &=0 \end{align}$ и сохранение энергии происходит аналогично. Просто возьмите производную по времени от выражения полной энергии, проделайте некоторые манипуляции с уравнениями движения, и вы получите ноль.

Задачи двух тел

Петерсон

Ответы (2)

Ашиш Гаурав

Петерсон

Ашиш Гаурав

джошфизика

Сохранение импульса и сохранение энергии

Сохранится ли импульс в этом сценарии?

Колыбель Ньютона: почему она остается симметричной? [дубликат]

Может ли ракета вечно двигаться в открытом космосе, даже если она больше не использует топливо? [дубликат]

Можно ли сохранить полную кинетическую энергию системы, но не ее импульс?

Противоречие между законом сохранения энергии и законом сохранения импульса?

Когда сохраняются энергия, механическая энергия, импульс и угловой момент?

Почему у планеты сохраняется только угловой момент, а не линейный?

Идеальное упругое столкновение и передача скорости

Сохранение импульса в колыбели Ньютона при неупругих столкновениях