Сомнения относительно классификации Вигнера

Я хочу отослать вас к Weinberg QFT1, если вы еще не читали его. Ниже я попытаюсь ответить на ваш вопрос в том формализме, о котором идет речь.

Вы классифицируете частицы по представлениям группы Пуанкаре. Одночастичное состояние должно быть преобразовано под элементом этой группы. Часть этого преобразования просто меняет импульс, другая часть производит специфическое для частицы «внутреннее» преобразование состояния (т.е. вращает спинорные индексы). Спин и спиральность характеризуют последнюю часть и в этом смысле довольно похожи.

Так получилось, что это внутреннее преобразование можно понять в терминах так называемой малой группы. Для любого импульса$p_\mu$вы можете перейти в стандартную систему отсчета, где у нас будет стандартный импульс$k_\mu$которая лежит на той же орбите группы Лоренца, что и$p$. Например (я использую метрическую подпись$+---$), для массивных частиц, где у вас есть$p^2=M^2$, вы можете выбрать остальную рамку и стандартную$k_\mu=(M,0,0,0)$. Для$p^2=0$вы можете перейти в систему отсчета, где импульс становится$k^\mu=(\kappa,0,0,\kappa)$.

Теперь малая группа — это подгруппа группы Лоренца, которая выходит за рамки вашего стандарта.$k$инвариант. Бывает (и для доказательства лучше почитать Вайнберга, Вигнера и т. д.), что каждому преобразованию Лоренца соответствует элемент малой группы, определяющий «внутреннее» преобразование.

Давайте сначала поговорим о массивном случае. У нас есть$k^\mu=(M,0,0,0)$, а малая группа явно просто вращения$SO(3)$. Неприводимые представления этой группы хорошо известны и параметризуются спином$s$который может быть целым или полуцелым. (Формально последние являются проективными представлениями, но в КМ фаза не имеет значения.) Мы также можем выбрать ось и посмотреть на генератор вращения$J_3$, и его собственные значения, это «проекция спина». Поскольку в нашем распоряжении есть другие вращения, мы можем вращать частицу, чтобы изменить эту проекцию. Это интуитивная причина, по которой у нас есть все проекции спина между$-s$и$s$(с целыми шагами).

Теперь о том, чем отличается случай безмассовых частиц. Стандартный импульс равен$k^\mu=(\kappa,0,0,\kappa)$это, скажем, фотон, путешествующий вдоль$z$направление. Теперь у нас еще есть наш$J_3$вращение, но есть некоторые проблемы с$J_1$и$J_2$-- они изменят наш вектор. Однако можно спасти ситуацию, добавив к этим генераторам некоторые бусты. Этот факт меняет группу в данном случае, и она становится изоморфной$ISO(2)$-- группа изометрий двумерной евклидовой плоскости. С практической точки зрения, у нас есть три генератора в небольшой группе...$A,B,J_3$, где$A,B$это то, что осталось от$J_1$и$J_2$и соответствуют переносам этой плоскости, а$J_3$представляет собой вращение вдоль направления импульса и соответствует вращениям в плоскости. Конечно, эта плоская картина — всего лишь математическая абстракция.

Более-менее очевидно, что$A,B$соответствуют некоторому двумерному импульсу, и поэтому, если они имеют ненулевое собственное значение, они имеют непрерывный спектр (просто поверните его с помощью$J_3$). Мы не наблюдаем каких-либо внутренних непрерывных степеней свободы для безмассовых частиц, поэтому мы заключаем, что$A,B$имеют нулевые собственные значения в интересующих нас представлениях. Теперь нам остается только думать о$J_3$собственное значение, которое является проекцией спина на направление импульса. Здесь я говорю «спиновая проекция», потому что она определяет преобразование волновой функции при вращении вокруг некоторой оси. Однако на самом деле это собственное значение называется спиральностью. На данный момент нет ограничений по его стоимости.

Вы можете видеть, что в безмассовом случае соответствующее неприводимое представление алгебры Лоренца на самом деле является одномерным (только одно состояние с$A\psi=B\psi=0$,$J_3\psi=\lambda\psi$) и параметризуется некоторым параметром$\lambda$. Теперь это топология группы Лоренца , которая требует$\lambda$быть целым или полуцелым (в массивном случае это требование вырастает уже из алгебры). Тем не менее, никаких требований типа "должно быть также как минимум$-\lambda$" и т. д.

Физическая причина этого в том, что в массивном случае, если бы мы знали «спиральность» — проекцию спина на направление импульса, мы могли бы перейти в систему покоя, повернуть спин как хотим и вернуться назад, тем самым изменив проекцию . В безмассовом случае системы покоя нет — когда мы пытаемся повернуть «спин», вращается и импульс. Спиральность лоренц-инвариантна.

Почему у нас, как вы говорите,$\pm s_{max}$' в безмассовом случае это происходит потому, что пространственная инверсия меняет знак спиральности. Итак, для частиц, которые «уважают$P$«инверсии» мы имеем также частицы с противоположным знаком спиральности и называем их теми же именами. Однако для нейтрино (предположим, что они безмассовые) у нас нет такой приятной вещи, поэтому есть нейтрино и антинейтрино с разной спиральностью.

Итак, если произошло чудо, и я объяснил его правильно и понятно, я думаю, это должно прояснить пункты 1,2,3.

4. Это то же самое, что мы должны называть электрон со спином вверх и электрон со спином вниз одной и той же частицей? Если вы верите, что вращения — это симметрии нашего мира — да. Теперь, спиральность? Если вы считаете, что пространственная инверсия ($P$) является симметрией -- да. Что ж, мы знаем, что она нарушена, но если мы возьмем только КЭД, то это симметрия, поэтому разумно так ее называть. Кроме того, математический формализм ($A_\mu$-поле) настоятельно предполагает это..

5. Перейти к оставшемуся кадру. (Квадрат - это Казимир, поэтому он коммутирует с бустами) Тогда это с точностью до коэффициента$m^2\vec{J}^2$. Где$J_i$является генератором вращения.

1. Я бы сказал, что вы ожидаете какой-то преемственности, которой здесь нет..

@1. Для$m \rightarrow 0$предел. Я не думаю, что это даст вам безмассовую частицу. Для любого положительного$m \gt 0$, какой бы маленькой она ни была, она принципиально отличается от безмассовой частицы — поскольку вы можете перевести ее в систему покоя, и число состояний будет таким же, как и у любой массивной частицы. В математическом понятии предела нет «$m_\epsilon$"-шар, внутри которого он может быть аппроксимирован как безмассовая частица. Таким образом, предел не дает вам безмассовых частиц.