Соотношение волнового вектора в нелинейном материале

Смысл нелинейной среды в том, чтобы создавать высшие гармоники (здесь:$\omega_2 = 2\omega_1$), т.е. волны с частотой, кратной частоте исходной волны ($k_1,\omega_1$), которые не исчезают при окончании среды. Это последнее утверждение имеет здесь существенное значение! Но я вернусь к этому позже.

Теперь электрическое поле начальной волны ($k_1,\omega_1$) можно описать как

$$E_1^{(\omega_1)}(z,t) = E_1 e^{i(k_1 z - \omega_1 t)} + c.c.,$$ где $E_1$представляет собой амплитуду поля, $z$направление распространения, $t$время и $c.c.$комплексное сопряжение.

Нелинейная часть поляризации, создающая вторую гармонику, считывается

$$P_{NL}^{(2\omega_1)} = \epsilon_0 \chi^{(2)} E_1^2 e^{2i(k_1 z - \omega_1 t)} + c.c.,$$ где $\epsilon_0$диэлектрическая проницаемость в вакууме и $\chi^{(2)}$нелинейная восприимчивость 2-го порядка.

Электрическое поле второй гармоники равно

$$E_2^{(2\omega_1)}(z,t) = E_2 e^{i(k_2 z - \omega_2 t)} + c.c.,$$ где $\omega_2 = 2\omega_1$.

Теперь в каждой точке$z$внутри среды начальная волна порождает другую волну, бегущую с$\omega_2 = 2 \omega_1$, но это не означает, что каждая созданная волна имеет одинаковую фазу! Вполне возможно, что две разные волны, бегущие со скоростью$\omega_2$имеют разность фаз, поэтому интерферируют деструктивно. Чтобы начальная волна последовательно переходила в одну и ту же вторую волну, она должна распространяться с одной и той же скоростью (фазовая скорость$v_p$). Так

$$v_{p_1} = \frac{\omega_1}{k_1} = \frac{\omega_2}{k_2} = \frac{2\omega_1}{k_2} = v_{p_2},$$ что подразумевает $k_2 = 2 k_1$или другими словами $\Delta k = k_2 - 2 k_1 = 0$. Это условие согласования фаз (престижность dominecf за указание на это). Это показывает, что направление как исходной, так и созданной волны одинаково, т.к. $k$обычно является вектором. С использованием

$$k_2 = 2 k_1$$ $$\Leftrightarrow \frac{\omega_2}{c} n(\omega_2) = \frac{2\omega_1}{c} n(2\omega_1) = 2 \frac{\omega_1}{c} n(\omega_1)$$ $$\Leftrightarrow n(\omega_2) = n(\omega_1),$$ где $c$это скорость света, ясно, что совпадают и показатели преломления.

Следует подчеркнуть, что условие фазового синхронизма не всегда означает обязательное совпадение фазовых скоростей волн. Условие конструктивного вмешательства должно быть выполнено, т.е.$\Delta k = 0$.