Сопряженный по Дираку матрице

Сопряженное Дирака для спиноров Дирака определяется как

$$\bar{u} = u^{\dagger} \gamma^{0} \, .$$ Однако я столкнулся с этим, $$\overline{\gamma^{\mu}} = \gamma^{\mu} \, , \tag{1}$$ (где $\gamma^{\mu}$являются $4\times4$гамма-матрицы). Наивное применение тех же правил, что и для спинора Дирака, явно ни к чему не приведет, $$\overline{\gamma^{\mu}} = \gamma^{\mu \dagger} \gamma^{0} = \gamma^{0} \gamma^{\mu} \gamma^{0} \gamma^{0} = \gamma^{0} \gamma^{\mu} \neq \gamma^{\mu} \, .$$ Таким образом, кажется, что сопряженное Дирака для матрицы определяется по-другому, поэтому, пытаясь понять это, я делаю следующее рассуждение, пусть $A$быть $4 \times 4$матрица и $u$спинор Дирака, так что $Au$снова является спинором Дирака. Взятие сопряженного Дирака (которое определено) дает, $$\overline{A u} = (A u)^{\dagger} \gamma^{0} = u^{\dagger} A^{\dagger} \gamma^{0} = u^{\dagger} \gamma^{0} \gamma^{0} A^{\dagger} \gamma^{0} = \bar{u} \;\underbrace{\gamma^{0} A^{\dagger} \gamma^{0}}_{ = \bar{A} ? } \, .$$ Так что я предполагаю, что $\bar{A} = \gamma^{0} A^{\dagger} \gamma^{0}$. Если это так, то нетрудно показать, что $\overline{\gamma^{\mu}} = \gamma^{\mu}$.

Мой вопрос заключается в следующем, верно ли приведенное выше утверждение? Так ли это, что сопряженное по Дираку на самом деле определено только для дираковских спиноров, но его можно как бы расширить до$4 \times 4$матрицы, как указано выше (позволяя записать$\overline{A u} = \bar{u} \bar{A}$)?

---

Ссылка , где я нашел экв. (1) (стр. 93, уравнение 3.249)

Ссылка , где я нашел экв. (1) и требование$\overline{X} = \gamma^{0} X \gamma^{0}$который, кажется, отсутствует "$^{\dagger}$"? (стр. 9, ур. 5.54)