Явный вид γμ∂μγμ∂μ\gamma^\mu \partial_\mu в уравнении Дирака

Я понимаю. Теперь, когда я думаю об этом, мы на самом деле не обсуждали разницу между $\partial_\mu$и $\partial^\mu$. Отличие только в знаке минус в пространственной части?

Да, в этом случае разница. Это частный случай более общего явления записи, используемого во многих контекстах, называемого «повышением и понижением индексов» с метрикой.

Ну, это не только конвенция. Нижние индексы представляют собой ковекторы, а производная, естественно, является ковектором.

@PeterKravchuk Ну конечно; это хорошо мотивированное соглашение, которое согласуется с другими соглашениями об обозначениях, используемыми для векторов и ковекторов, но в этом контексте различие в любом случае в значительной степени искусственно из-за изоморфизма касательной и котангенса на полуримановых многообразиях. Кроме того, помимо всей этой высоколобой болтовни, в какой-то момент вам нужно выбрать определение для символа. $\nabla$, и вы можете подумать, что одно определение более естественно, чем другое, но вы, конечно, могли бы выбрать другое, если бы действительно хотели.

Итак, Питер, вы говорите, что естественное соответствие, например, $\frac{\partial}{\partial y} \leftrightarrow \frac{\partial}{\partial x_2}$?

@Джино $\frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x^2} = \partial_2$; обычно компоненты координат помечаются верхним индексом, и любой верхний индекс в знаменателе рассматривается в целом как нижний индекс.

@joshphysics, извини, я не подумал о «конвенции» как о «конвенции для $\nabla$')

@joshphysics Спасибо, это очень полезно. Так ты говоришь, что $\partial_i = \frac{\partial}{\partial x^i}$и $\partial^i = g^{ii} \frac{\partial}{\partial x^i}$(не суммируя $i$, и я предполагаю, что метрика должна быть диагональной)?

@Gino en.wikipedia.org/wiki/Raising_and_lowering_indices Это должно ответить на большинство ваших вопросов. См. также idv.sinica.edu.tw/ftliang/diff_geom *diff_geometry(II)/3.04/cotangent_tangent.pdf и en.wikipedia.org/wiki/Killing_form (ищите по фразе «поднять и опустить»). Кроме того, обратитесь к любой книге по GR, например, к первой паре глав preposterousuniverse.com/grnotes .