Специальное релятивистское приближение к ОТО

Моделирование, используемое в GPS, основано на статической метрике слабого поля.

Идея аппроксимировать гравитацию как ускорение, найденное бесконечно малыми импульсами Лоренца на плоском фоне, сама по себе вовсе не безумна. Достаточно каноническим примером является наблюдатель, испытывающий постоянное собственное ускорение в направлении z в пространстве-времени Минковского:

Но, по крайней мере, этот конкретный случай немного более буквально относится к «специальному релятивистскому приближению к ОТО», чем к возмущению метрики Минковского. Как далеко мы можем зайти, предполагая, что гравитационное поле есть поле на фоне Минковского? Некоторое симметричное тензорное поле ранга 2$h_{\mu\nu}$является хорошим кандидатом на эту работу, так как он имеет то же количество локальных степеней, что и метрика в ОТО, хотя мы также можем сделать скаляр, вектор или что-то еще. Оказывается, скалярные и векторные поля вообще не предсказывают гравитационное отклонение света, и хотя$h_{\mu\nu}$получает правильный ответ, прецессия Меркурия становится на треть выше. Симметричное поле ранга 2 также оказывается формально идентичным обычному пертурбативному методу линеаризованной ОТО, предполагающему$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$, так что в этом случае нет ничего особенного.

В общем, этот подход поля на фоне Минковского в конечном итоге обречен на неудачу не только из-за ошибок приближений, но и из-за более фундаментальной несовместимости. Например, предположим, что А и В находятся на разных высотах в статическом неоднородном гравитационном поле, и А посылает в В монохроматический световой импульс с некоторым заданным числом колебаний (или фотонов), затрачивая некоторое количество собственного времени t А на отправку и собственное время t' B для получения. Из-за гравитационного красного смещения частоты должны быть разными, но число колебаний должно оставаться одинаковым: ft = f't', поэтому$t\not=t'$. Следовательно, гравитационное красное смещение несовместимо со специальной теорией относительности.

(Если это неясно, представьте, что сразу после этого следует идентичный импульс, так что траектории сигналов идентичны, образуя «параллелограмм»$A_{\text{send1}}B_{\text{receive1}}B_{\text{receive2}}A_{\text{send2}}$. Если пространство-время плоское,$t = A_{\text{send1}}A_{\text{send2}}$должно быть равно$t' = B_{\text{receive1}}B_{\text{receive2}}$, независимо от того, являются ли траектории сигналов прямыми, если они конгруэнтны. Но гравитационное красное смещение заставляет их быть другими. Первоначально этот аргумент был выдвинут А. Шильдом.)

во-первых, я точно не знаю, о какой «последовательности бесконечно малых ускорений Лоренца» вы говорите. Повышение плоского пространства Минковского возвращает пространство Минковского обратно, так что вы не можете получить искривленное пространство с помощью любой последовательности усилений, которые действуют глобально на пространство-время.

Кроме того, прилагательное «бесконечно малый» может быть в значительной степени несущественным. Преобразования в физике часто представляются как произведение бесконечно многих бесконечно малых преобразований.

С другой стороны, утверждение, что мир — Солнечная система — может быть аппроксимировано специальной теорией относительности, очевидно верно. Кривизна пространства-времени невелика, и ее можно рассматривать с точки зрения теории возмущений.

Почти в любой системе отсчета, которую вы выберете, и вы даже можете выбрать геоцентрическую систему, все гравитационные эффекты, включая эффекты общей теории относительности, могут быть включены в качестве небольших поправок.

В частности, вы всегда можете определить некоторые рабочие координаты, в которых пространство-время почти плоское, поэтому метрика задается плоской метрикой Минковского. Фактическая метрика, продиктованная общей теорией относительности, какой бы она ни была, может быть выражена как небольшая поправка к метрике Минковского.

В принципе, такую ​​поправку можно вычислить с любой точностью, а не только на ведущем уровне, с помощью пертурбативных разложений. Такой подход к общей теории относительности обычно называют линеаризованной гравитацией — даже если выйти за пределы линеаризованного уровня — и он необходим не только для фактических расчетов наблюдаемых явлений, но и для правильного концептуального понимания общей теории относительности (и квантовой гравитации — линеаризация необходима, чтобы понять, что существуют гравитоны, и каковы их масса, спин и физическая поляризация).

Сам Эйнштейн рассчитал воздействие точечной массы, например Солнца, на другие тела, например Меркурий, в пертурбативной схеме. Это было до того, как Шварцшильд дал точное решение уравнений Эйнштейна в сферически-симметричном случае (при экстраполяции повсюду в пространстве это теперь называется черной дырой Шварцшильда).

Эффекты, которые должна учитывать GPS, включают, конечно, стандартные силы классической механики, такие как центростремительная сила или сила Кориолиса, а также некоторые специальные релятивистские и общие релятивистские эффекты. Но, конечно, при практических расчетах люди де-факто предполагают, что весь мир происходит на фоне Минковского, а все гравитационные эффекты — это небольшие поправки, возникающие на арене Минковского.

Даже если бы Эйнштейн не открыл ОТО методами гениальных физиков, инженеры, работающие над НГМ, позже найдут нужные поправки в процессе настройки своей системы и устранения несоответствий. Они могли экспериментально измерить зависимость от дневного времени, широты и долготы любого важного эффекта, который делал их предыдущее программное обеспечение GPS plus неточным. Они не сразу оценят красоту ОТО, но, конечно, смогут угадать правильный вид поправочных членов по экспериментальным отклонениям.

Опять же, чтобы ответить на ваш последний вопрос, пертурбативный подход к ОТО, расширяющийся вокруг фона СР, не должен где-либо потерпеть неудачу. Это может быть точно так же, как$\exp(x)$может быть точно выражено разложением Тейлора,$1+x+x^2/2+x^3/3!+\dots$. Конечно, пертурбативный подход становится, по меньшей мере, неудобным для причинно-нетривиальных ситуаций, таких как черные дыры, включая внутреннюю часть; червоточины и другие топологически нетривиальные формы пространства; или некоторые очень глобальные вопросы космологии. Но когда пространство-время топологически тривиально, пертурбативные разложения работают. Чем плоское пространство, тем полезнее становятся пертурбативные разложения.

С наилучшими пожеланиями Любош

Специальная теория относительности является хорошим локальным приближением к общей теории относительности. Специальная теория относительности или любая последовательность преобразований Лоренца ничего не откроет о глобальных аспектах гравитирующих систем.

Это называется гравитоэлектромагнетизмом, и это способ перевести уравнения Максвелла в теорию относительности. Точнее, это говорит о том, что аналог уравнений Максвелла выполняется в теории относительности, если вместо электрического поля поставить гравитационное поле, а вместо (тоже фиктивного) магнитного поля — «фиктивное» гравитомагнитное поле.

Есть два способа вывести гравитационные уравнения Максвелла.

1. Линеаризуйте уравнения поля ОТО. Проверьте Машхуна; Гравитоэлектромагнетизм, краткий обзор
2. Точно так же, как вы можете вывести полные уравнения Максвелла из простого закона Кулона с помощью специальной теории относительности (ссылка: Антуан Ройер, Почему магнитная сила похожа на силу Кориолиса?), вы можете начать с закона тяготения Ньютона (с конечной скоростью взаимодействия ) и вывести гравитационный аналог уравнений Максвелла. Ну, по крайней мере, до каких-то констант.

Но самое интересное, что с помощью этих средств можно получить почти всю линеаризованную ОТО из СТО. Я слышал, что одна константа может быть неправильной, поскольку «гравитон — это частица со спином два».

Наконец, хотя ГЭУ является линеаризованной, ОТО используется для объяснения и расчета релятивистских струй черных дыр. Так что, действительно, чрезвычайно полезно.