Спинор Дирака и спинор Вейля

Из релятивистской ковариантности уравнения Дирака (вывод см. в разделе 2.1.3 в книге КТП Ициксона и Зубера. Я также более или менее следую их обозначениям) вы знаете, как преобразовывается спинор Дирака. Надо

$$\psi'(x')=S(\Lambda)\ \psi(x)$$ при преобразовании Лоренца $$x'^\mu= {\Lambda^\mu}_\nu\ x^\nu= {\exp(\lambda)^\mu}_\nu\ x^\nu=(I + {\lambda^\mu}_\nu+\cdots)\ x^\nu\ .$$ В явном виде $S(\Lambda)=\exp\left(\tfrac{1}8[\gamma_\mu,\gamma_\nu]\ \lambda^{\mu\nu}\right)$.

Чтобы показать сводимость, все, что вам нужно, это найти базис для гамма-матриц (а также спиноров Дирака), такой, что$[\gamma_\mu,\gamma_\nu]$блочная диагональ с двумя$2\times 2$блоки. Как только это показано, это доказывает приводимость спиноров Дирака к преобразованиям Лоренца, поскольку$S(\Lambda)$также является блочно-диагональным. Такой базис называется киральным. Также важно отметить, что массовый член в члене Дирака смешивает спиноры Вейля в уравнении Дирака, но это не проблема сводимости.

Хотя этот вывод не использует напрямую теорию представлений группы Лоренца, он использует ковариацию Лоренца уравнения Дирака. Я не знаю, этого ли ты хотел.

( Меня не интересует ваша награда — пожалуйста, не награждайте меня ничем. )

Ответ сводится к теории представлений группы Лоренца. Хорошее обсуждение можно найти в первом томе КТП Вайнберга (а также в других местах). Следует отметить, что вы постулируете 4-мерное представление группы Лоренца. Этот постулат возникает, когда вы предполагаете, что ваши объекты состоят из 4 компонентов. Теперь 4-мерное представление группы Лоренца может быть либо неприводимым, соответствующим 4-векторам, либо строиться из двух двух 2-мерных представлений, соответствующих двум 2-компонентным спинорам. Это единственные два варианта.

Нет ничего, что могло бы отличить левое от правого. Все, что мы знаем, это то, что будет два 2-мерных подпространства, которые независимы друг от друга. (Это можно увидеть в киральном базисе гамма-матриц). Мы просто называем объекты в одном из пространств движущимися влево, а объекты в другом — движущимися вправо. Однако эти два пространства абсолютно идентичны. Например, если мы запишем уравнение Дирака в двухкомпонентной форме (а существует эквивалентный способ выполнения всех возможных расчетов с использованием только двухкомпонентных спиноров вместо четырехкомпонентных спиноров [1]), то мы увидим, что уравнения которым удовлетворяют левый и правый спиноры, абсолютно эквивалентны.

Надеюсь это поможет!

[1] http://arxiv.org/abs/0812.1594

Ключевым моментом в написании действия для спиноров является существование алгебры Клиффорда (расширенной гамма- матрицами )

$$\{\gamma^a,\gamma^b\} = 2\eta^{ab}\mathbf{1},$$ где индекс $a$работает от $0$к $3$(или $0$к $D-1$, где $D$пространственно-временное измерение).

Весь базис алгебры задается$\gamma$и все возможные произведения... согласно последнему уравнению вклад вносят только антисимметричные произведения.

Можно показать, что для любого четномерного пространства-времени (антисимметричное) произведение всех$\gamma$, т.е. _$\gamma^* \propto \gamma^0\cdots \gamma^{D-1}$позволяет определять нетривиальные проекторы

$$P_+^2 = P_+,\quad P_-^2 = P_-, \quad P_+ P_- = 0.$$

Эти проекторы служат для расщепления спинора на части,

$$\psi_{\pm} = P_{\pm} \Psi,$$ с $\Psi$спинор Дирака и $\psi_\pm$вейлевские (или киральные).

Заключение

Тот факт, что спиноры Дирака могут быть разделены на спиноры Вейля, обусловлен размерностью пространства-времени. В нечетной размерности проекторы тривиальны, потому что они$0$и$1$соответственно.

---

Дополнительный комментарий: спиноры Вейля двумерны, только если используется киральное представление гамма-матриц. В противном случае они имеют половину компонентов (с точки зрения реальной размерности спиноров).