Спинорное представление и преобразование Лоренца в Пескине и Шредере

Я новичок в теории групп. В КТП Пескина и Шредера, стр. 42 (3.29), говорится, что, поскольку мы имеем

(3.29) Λ 1 2 − 1 γ мю Λ 1 2   "="   Λ     ν мю γ ν ,
мы можем сказать, что " γ матрицы инвариантны относительно одновременных поворотов их векторного и спинорного индексов (точно так же, как о при пространственных вращениях)». Другими словами, «мы можем взять индекс вектора мю на γ мю серьезно", и точка γ мю в ∂ мю чтобы образовать лоренц-инвариантный дифференциальный оператор.

  1. Я не понимаю фразу, что " γ матрицы инвариантны относительно одновременных поворотов их векторного и спинорного индексов (точно так же, как о при пространственном вращении)». Кажется, что это две разные вещи: одна связана со спиновым представлением, а другая связана с преобразованием Лоренца.

  2. Что означает «мы можем взять векторный индекс мю на γ мю серьезно", в смысле?

  3. В чем разница между спиновыми индексами и пространственно-временными индексами?

Связано: physics.stackexchange.com/q/28505/2451 и ссылки в нем.

Ответы (1)

Как вы, наверное, знаете, в релятивистской квантовой теории поля существуют разные неприводимые представления различных групп симметрии. Здесь мы имеем дело с симметрией Лоренца (частью симметрии Пуанкаре).

Одно представление, представление с половинным спином, связано с фермионами, что можно найти в уравнении Дирака. Индексы этих представлений являются спиновыми индексами, обозначенными строками и столбцами матриц Дирака. В этом представлении преобразования Лоренца представлены спиновыми преобразованиями.

Другое представление, представление со спином один, связано с векторными полями, такими как калибровочные бозоны. Это также представление векторов координат. Индексы в данном случае — это индексы пространства-времени, которые обычно обозначаются какой-нибудь греческой буквой, например мю . В этом представлении преобразования Лоренца преобразуют индексы пространства-времени (повороты и бустинги).

Можно комбинировать пару величин со спином-половиной, чтобы они действовали как величины со спином-единицей. (Это часть более общего процесса, посредством которого тензорные произведения неприводимых представлений группы симметрии становятся прямыми суммами различных неприводимых представлений этой группы симметрии.) Это означает, что произведение двух спин-половинных величин, каждая из которых преобразуется спиновыми преобразованиями, может действовать как одна величина со спином один, преобразуясь как пространственно-временной вектор, при условии, что две величины комбинируются определенным образом. Оказывается, матрицы Дирака обеспечивают правильный способ объединения двух величин со спином в два раза так, чтобы они преобразовывались как одна величина со спином в единицу. Уравнение (3.29) демонстрирует это свойство.

Надеюсь, это ответит на все ваши вопросы.

«Оказывается, матрицы Дирака обеспечивают правильный способ объединения двух величин со спином в два раза так, чтобы они преобразовывались как одна величина со спином в единицу». Я не уверен, что это на самом деле должно означать. уравнение 3.29 показывает, что преобразование матриц как операторов в спинорном пространстве Дирака совпадает с их преобразованиями как векторов стандартного представления со спином 1.
Это означает, что ψ ¯ γ мю ψ преобразуется как вектор, а ψ ¯ и ψ превращаются как спиноры. Ты знаешь что.
Да, я знал это, но я не понял, что вы имели в виду . Благодарю за разъяснение.
Спинорное представление и преобразование Лоренца в Пескине и Шредере
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v