Откуда взялся импульс Лоренца для спинора Дирака?

Я читал, что если у вас есть спинор Дирака

ψ "=" ( ф р ф л )

что вы можете применить усиление Лоренца вдоль г -направление с быстротой у так:

ф р → е − 1 2 о г у ф р ; ф л → е + 1 2 о г у ф л

и общее повышение, как это:

ф р → е − 1 2 н ^ ⋅ о ф р ; ф л → е + 1 2 н ^ ⋅ о ф л

Почему это правильный способ преобразования спинора? Также являются ли противоположные знаки в экспонентах просто соглашением или они имеют более глубокое значение?

Эти преобразования исходят из способа определения спинорного представления . У вас нет «спина Дирака», если он не трансформируется вот так. Знак, конечно, связан с четностью р / л . Я не совсем уверен, что вы хотите знать.
Хорошо, почему у четностей разные знаки и как выбрать, какая из них положительная, а какая отрицательная?
Извините, я имел в виду, почему вы используете экспоненты с противоположным знаком для преобразования левых и правых спиноров.

Ответы (2)

Вы можете посмотреть на вывод преобразований Лоренца для спиноров Дирака, скажем, в книге Itzykson, Zuber. Они выводятся из условия релятивистской ковариантности уравнения Дирака. Генераторами преобразований Лоренца являются [ γ мю , γ ν ] (с точностью до постоянного множителя). Это выражение дает разные знаки буста для правой и левой частей спинора Дирака в киральном представлении.

Комментарии к вопросу (v3):

  1. Напомним, что ограниченная группа Лоренца

    (1) С О + ( 3 , 1 )   ≅   С л ( 2 , С ) / Z 2
    локально изоморфна группе Ли комплекса 2 × 2 матрицы с единичным определителем, ср. например, мой ответ Phys.SE здесь . Группа Ли трехмерных вращений
    (2) С О ( 3 )   ≅   С U ( 2 ) / Z 2
    является его подгруппой.

  2. Левое спинорное представление Вейля является фундаментальным представлением С л ( 2 , С ) . Левосторонний спинор Вейля ψ л α (с верхними индексами) преобразуется как

(3) ψ л   ⟶   ψ л ′   "="   г ψ л , г   е   С л ( 2 , С ) .

  1. Правостороннее спинорное представление Вейля математически говоря представляет собой комплексно-сопряженное представление . Это означает правосторонний спинор Вейля. ψ р α ˙ (с верхними индексами) преобразуется как

    (4) ψ р ∙   ⟶   ψ р ′ ∙   "="   г * ψ р ∙ , г   е   С л ( 2 , С ) ,
    где г * обозначает комплексное сопряжение 2 × 2 матрица.

  2. Физики часто занижают индекс правостороннего спинора Вейля

    (5) ψ α ˙ р   "="   ε α ˙ β ˙ ψ р β ˙
    с тензором Леви-Чивиты ε α ˙ β ˙ . Правосторонний спинор Вейля ψ α ˙ р (с нижними индексами) преобразуется как эрмитово сопряженное представление
    (6) ψ ∙ р   ⟶   ψ ∙ ′ р   "="   ( г − 1 ) † ψ ∙ р , г   е   С л ( 2 , С ) ,
    благодаря особым свойствам 2 × 2 матрицы.

  3. Таким образом, разница между преобразованиями (3) и (6) представляется спорной для компактных трехмерных вращений [поскольку они реализуются унитарными 2 × 2 матрицы см. экв. (2)], но индуцирует важный относительный знак минус в некомпактном правиле преобразования лоренцевских бустов между левыми и правыми спинорами Вейля.

Комментарий к обозначениям: в этом ответе все спиноры неявно понимаются как векторы-столбцы. Обратите внимание, что часто в физике правосторонние спиноры неявно предполагаются векторами-строками.
Откуда взялся импульс Лоренца для спинора Дирака?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v