Может ли существовать псевдовекторный кинетический термин для фермионов?

Теоретически вам разрешено иметь такой псевдовекторный кинетический член: это не запрещено какой-либо симметрией.

Допустим, исходный векторный кинетический член равен

$$\bar{\Psi} i \gamma^\mu \partial_\mu \Psi.$$ И мы добавляем псевдовекторный скинетический термин $$\epsilon\bar{\Psi} i\gamma_5 \gamma^\mu \partial_\mu \Psi$$ получить $$\bar{\Psi} i \gamma^\mu \partial_\mu \Psi + \epsilon\bar{\Psi} i\gamma_5 \gamma^\mu \partial_\mu \Psi = (1+\epsilon)\bar{\Psi}_L i \gamma^\mu \partial_\mu \Psi_L + (1-\epsilon)\bar{\Psi}_R i \gamma^\mu \partial_\mu \Psi_R.$$

Загвоздка в том, что физический мир не предопределен Всемогущим. Дополнительный псевдовекторный скинетический член к векторному означал бы разные кинетические члены (следовательно, разные импульсы) для левого и правого фермионов, что пока не согласуется с экспериментальными наблюдениями.

В этот момент сообразительный и дерзкий студент в первом ряду может спросить: «Эй, профессор, а не могли бы вы просто изменить масштаб полей фермионов в лагранжиане, чтобы в конце концов сделать кинетические члены для левой и правой частей равными?»

Давайте сделаем упражнение по изменению масштаба как

$$\Psi_L \rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon}}\Psi_L.$$ $$\Psi_R \rightarrow \frac{1}{\sqrt{1-\epsilon}}\Psi_R,$$ в результате чего $$\bar{\Psi} i \gamma^\mu \partial_\mu \Psi + \epsilon\bar{\Psi} i\gamma_5 \gamma^\mu \partial_\mu \Psi \rightarrow \bar{\Psi} i \gamma^\mu \partial_\mu \Psi,$$ который эффективно убивает псевдовекторный кинетический член и возвращает нас к исходному чисто векторному кинетическому члену.

Как насчет массового термина? Массовый член Дирака будет перемасштабирован как

$$m\bar{\Psi}\Psi \rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon}\sqrt{1-\epsilon}}m\bar{\Psi}\Psi.$$ Означает ли это, что нет никакого реального физического эффекта псевдовекторного кинетического члена, кроме перемасштабированного массового члена?

Дело в том, что будут задействованы калибровочные муфты. предположим, что фермион связан с векторным калибровочным полем,

$$\bar{\Psi} i \gamma^\mu (\partial_\mu -eiA_\mu) \Psi + \epsilon\bar{\Psi} i\gamma_5 \gamma^\mu \partial_\mu \Psi = (1+\epsilon)\bar{\Psi}_L i \gamma^\mu (\partial_\mu -\frac{1}{1+\epsilon}eiA_\mu) \Psi_L + (1-\epsilon)\bar{\Psi}_R i \gamma^\mu (\partial_\mu -\frac{1}{1-\epsilon}eiA_\mu) \Psi_R.$$

Применим упомянутый выше масштаб лево/правосторонних фермионных полей и получим

$$\bar{\Psi} i \gamma^\mu (\partial_\mu -eiA_\mu) \Psi + \epsilon\bar{\Psi} i\gamma_5 \gamma^\mu \partial_\mu \Psi \rightarrow \bar{\Psi}_L i \gamma^\mu (\partial_\mu -\frac{1}{1+\epsilon}eiA_\mu) \Psi_L + \bar{\Psi}_R i \gamma^\mu (\partial_\mu -\frac{1}{1-\epsilon}eiA_\mu) \Psi_R.$$ Упс, теперь у нас есть оба векторных калибровочных поля $$\frac{1}{2}(\frac{1}{1+\epsilon} + \frac{1}{1-\epsilon})A_\mu$$ и псевдоверторное (аксиальное) калибровочное поле $$\frac{1}{2}(\frac{1}{1+\epsilon} - \frac{1}{1-\epsilon})A_\mu$$

Псевдовекторное калибровочное взаимодействие — это банка червей, которую вы не хотите открывать. Помимо отсутствия экспериментальных доказательств, псевдовекторные калибровочные взаимодействия столкнутся с осложнениями из-за соображений отмены квантовой киральной аномалии.

---

Бонус для тебя:

Однако вы МОЖЕТЕ иметь как скалярные, так и псевдоскалорные массовые термины, параметризованные как:

$$m\bar{\Psi} e^{\theta i\gamma_5} \Psi = m\cos\theta \bar{\Psi} \Psi + m\sin\theta \bar{\Psi} i\gamma_5\Psi.$$

Забавный факт, что после поворота фермионного поля

$$\Psi \rightarrow e^{-\frac{1}{2}\theta i\gamma_5} \Psi.$$ «комплексный» массовый член можно превратить в скалярный массовый член: $$m\bar{\Psi} e^{\theta i\gamma_5} \Psi \rightarrow m\bar{\Psi} \Psi.$$ Интересно, что в отличие от более раннего случая масштабирования левого/правого фермионного поля, это вращение не изменит калибровочные связи.