Как вывести закон преобразования спинора Вейля при преобразовании Лоренца?

Вы можете написать бесконечно малое преобразование с генератором$J$, как

$$R(\delta\theta) = 1 + iJ\delta\theta$$ Конечным преобразованием является последовательность $N\to\infty$бесконечно малые преобразования, $$R(\theta) = (1 + iJ\theta/N)^N = e^{iJ\theta}$$

Вращения$O(3)$изоморфны$SU(2)$, с генераторами$J = \sigma/2$. Преобразования Лоренца аналогичны вращениям, но с гиперболическими функциями, а не с тригонометрическими;$\sinh=\gamma\beta$и$\cosh\phi=\gamma$, потому что бусты удовлетворяют$\gamma^2-\gamma^2\beta^2=1$. Вы можете обнаружить, что генераторы Лоренца$K = \pm i\sigma/2$.

Собрав это вместе, для отрицательного решения вы найдете

$$R(\theta, \phi) =\exp\left(\ i \frac{\bf{\sigma}}{2}\cdot \theta +\frac{\bf{\sigma}}{2} \cdot \phi\right)$$ это правша $(1/2,0)$решение. (Альтернативное положительное решение — левое $(0,1/2)$решение.)

Вы даете преобразование Лоренца левого спинора Вейля. Очень подробный вывод этих формул дан, например, в [1].

Короче говоря, появление двух матриц Паули связано с тем, что алгебра Ли$\mathfrak{so(3,1)}$группы Лоренца такое же, как$\mathfrak{su(2)\times\mathfrak{su(2)}}$. Таким образом, вращения генерируются$\mathfrak{su(2)}$а также повышение (однако обратите внимание на дополнительный фактор$i$).

[1] Маджоре, Микеле Современное введение в квантовую теорию поля , 2005 г.