Производная унитарного оператора временной эволюции

Question

Производная унитарного оператора временной эволюции

ДЖА

Рассмотрим унитарный оператор временной эволюции

U (т) "=" опыт (\frac{- я ЧАС т}{ℏ})

$U(t) = \exp\left(\frac{-iHt}{\hbar}\right)$ и его эрмитово сопряженное:

U (т)^{†} "=" опыт (\frac{я ЧАС т}{ℏ})

$U(t)^{\dagger} = \exp\left(\frac{iHt}{\hbar}\right)$

Производные этих операторов следующие:

\frac{\partial U (т)}{\partial т} "=" \frac{- я}{ℏ} ЧАС (т) U (т)

$\frac{\partial U(t)}{\partial t} = \frac{-i}{\hbar}H(t)U(t)$

и

\frac{\partial U (т)^{†}}{\partial т} "=" \frac{я}{ℏ} U (т)^{†} ЧАС (т)

$\frac{\partial U(t)^{\dagger}}{\partial t} = \frac{i}{\hbar}U(t)^{\dagger} H(t)$

На мой вопрос почему $U(t)$ и $H(t)$ в производных в том порядке, в котором они стоят. Другими словами, почему производные оператора не являются следующими:

\frac{\partial U (т)}{\partial т} "=" \frac{- я}{ℏ} ЧАС (т) U (т)

$\frac{\partial U(t)}{\partial t} = \frac{-i}{\hbar}H(t)U(t)$

и

\frac{\partial U (т)^{†}}{\partial т} "=" \frac{я}{ℏ} ЧАС (т) U (т)^{†}

$\frac{\partial U(t)^{\dagger}}{\partial t} = \frac{i}{\hbar} H(t)U(t)^{\dagger}$

Прахар

H

$H$ коммутирует с

U (t)

$U(t)$ так что порядок не имеет значения.

QuantumEyedea

@PraharMitra

H

$H$ коммутирует с

U (t)

$U(t)$ только когда гамилониан не зависит от времени (что, честно говоря, является предположением в вопросе). Однако, когда у вас есть зависимость от времени

H (t)

$H(t)$ оператор эволюции во времени представляет собой упорядоченную по времени экспоненту и

H (t)

$H(t)$ больше не ездит с

U (t)

$U(t)$ (в основном это потому, что в целом

H (t)

$H(t)$ не коммутирует сам с собой в разное время).

Прахар

@QuantumEyedea - я ничего не говорил об общем случае. Из формул в вопросе ясно, что рассматриваемый гамильтониан не зависит от времени. Если бы это было,

U (t)

$U(t)$ не будет принимать показанную форму, и нам понадобится оператор упорядочения по времени. Когда у вас есть оператор упорядочения по времени, мы могли бы снова коммутировать гамильтониан за это ценой изменения времени, в которое он оценивается. В этом случае порядок будет иметь значение, и RHS будет либо

H (t) U (t, t^{'})

$H(t) U(t,t')$ или

U (t, t^{'}) H (t^{'})

$U(t,t') H(t')$ и они оба эквивалентны.

Ответы (2)

Производная унитарного оператора временной эволюции

$H$ коммутирует с $U(t)$ так что порядок не имеет значения.
@PraharMitra $H$ коммутирует с $U(t)$ только когда гамилониан не зависит от времени (что, честно говоря, является предположением в вопросе). Однако, когда у вас есть зависимость от времени $H(t)$ оператор эволюции во времени представляет собой упорядоченную по времени экспоненту и $H(t)$ больше не ездит с $U(t)$ (в основном это потому, что в целом $H(t)$ не коммутирует сам с собой в разное время).
@QuantumEyedea - я ничего не говорил об общем случае. Из формул в вопросе ясно, что рассматриваемый гамильтониан не зависит от времени. Если бы это было, $U(t)$ не будет принимать показанную форму, и нам понадобится оператор упорядочения по времени. Когда у вас есть оператор упорядочения по времени, мы могли бы снова коммутировать гамильтониан за это ценой изменения времени, в которое он оценивается. В этом случае порядок будет иметь значение, и RHS будет либо $H(t) U(t,t')$ или $U(t,t') H(t')$ и они оба эквивалентны.

Молодой Киндаичи · Answer 1

[ЧАС, U (т)] "=" 0 \Rightarrow Не важно :)

$[H,U(t)]=0\Rightarrow \text{Doesn't matter :)}$

Обратите внимание, что

В общем U (т) \neq опыт (- \frac{я ЧАС т}{ℏ})

$\text{In general } \ \ U(t)\not=\exp\left(-\frac{iHt}{\hbar}\right)$ Вы использовали зависящий от времени гамильтониан, и выше это недействительно для такого случая.

аакаш · Answer 2

Мы можем сделать это либо сначала взяв производную, а затем взяв ее сопряженное транспонирование.

$(\partial U/\partial t)^\dagger$ "=" $(-{\frac\iota \hbar} \space U(t) \space H(t))^\dagger$ и мы знаем $(AB)^\dagger$ "=" $B^\dagger \space A^\dagger$

Итак, мы получаем,

$\frac {∂U(t)^†} {∂t}=\frac iℏU(t)^†H(t)$

так что мы получаем выражение. Мы также можем найти его, расширив экспоненциальный член, а затем выполнив сопряженное транспонирование расширенных членов. В любом случае придет то же самое. Но, как указано, H (t) коммутирует с U (t), поэтому порядок не имеет значения, если H (t) считается независимым от времени.

Производная унитарного оператора временной эволюции

ДЖА

Прахар

QuantumEyedea

Прахар

Ответы (2)

Молодой Киндаичи

аакаш

Задача с доказательством теоремы Эренфеста

Откуда берется iii в уравнении Шрёдингера?

Полуограниченность операторов Шрёдингера

Проблема при выводе теоремы Эрефеста

Почему производная по времени не считается оператором в квантовой механике? [дубликат]

Докажите, что зависящий от времени гамильтониан является эрмитовым из-за унитарности оператора эволюции во времени.

Существует ли оператор времени в квантовой механике?

Преобразование Лоренца, реализуемое неунитарным оператором.

Почему эволюция времени едина? - Версия с изображением Гейзенберга

Уравнение Шредингера для атома водорода