Средняя энергия газа свободных электронов при T=0K

Допустим, у вас есть какой-то дистрибутив$D(x)$. Если мы хотим, чтобы это представляло вероятности, то это должно быть так.

$$A=\int D(x) dx=1$$

Итак, что мы можем сделать, так это просто определить новую функцию в терминах$D(x)$и этот интеграл по области$D$:

$$P(x)=\frac{1}{A}D(x)$$

Так что интеграл по области определения$P$является$1$.

Теперь, когда мы хотим найти среднее значение$x$описывается этим распределением, мы используем определение среднего

$$\langle x \rangle=\int x P(x) dx=\frac{1}{A}\int xD(x) dx=\frac{\int xD(x) dx}{\int D(x) dx}$$

Итак, как вы можете видеть, записывать среднее таким образом полезно, когда интеграл вашего распределения не равен$1$по всей области распределения, но вы все равно хотите использовать это распределение как распределение вероятностей.

Физически, если мы находимся в$T=0$тогда интегрирование по плотности состояний такое же, как подсчет электронов, поэтому$\int D(E) dE$будет равно$N$. Короче говоря, вы правы.

Начнем с функции распределения Ферми-Дирака

$$n_k(T) = n(\epsilon_k, T) = \frac{1}{e^{(\epsilon_k - \mu(T))/T}+1}.$$ Индекс $k$помечает состояния системы, и я явно включил температурную зависимость обоих $n_k$и химический потенциал $\mu$. Кроме того, я использую такие единицы измерения, что постоянная Больцмана $k_B = 1$.

В$T = 0$, химический потенциал системы$\textit{fermions}$приблизительно постоянна и равна энергии Ферми$E_F$системы:$\mu(T=0) \approx E_F$. Качественно мы понимаем это, поскольку$E_F$является наинизшей энергией (выше основного состояния$E_0 = 0$) незанятое состояние системы, и$\mu$в целом можно рассматривать как энергию, необходимую для создания или добавления частицы в систему. Тогда при нулевой температуре$\mu = E_F$в низшем приближении. Теперь внимательное изучение FDD покажет, что$T \rightarrow 0$он действует как ступенчатая функция:$n(\epsilon_k, 0) = 1$для$\epsilon_k < E_F$и$n(\epsilon_k, 0) = 0$для$\epsilon_k > E_F$. Этого достаточно для нашего расчета. Подробнее см. https://en.wikipedia.org/wiki/Sommerfeld_expansion .

Теперь вы спросили об энергии, приходящейся на электрон такой системы. Нам нужны две вещи (1) полная энергия системы$E$2) количество частиц$N$. Чтобы вычислить оба, вы обратились к интегралу по энергиям функции плотности энергии состояния$D(\epsilon)$. Этот метод прекрасно работает, но может быть немного тупым. Вместо этого давайте вернемся к функции распределения Ферми-Дирака (FDD), которую я написал в начале поста, чтобы вычислить$E$и$N$.

В определение FDD я включил метку состояния$k$. Для системы при температуре$T$, среднее число$n_k$частиц займет состояние$k$с энергией$\epsilon_k$. Таким образом, чтобы найти общее число частиц в системе, нам нужно только просуммировать$n_k$по всем штатам$k$:

$$N = \sum_k n_k.$$ Для нашей системы электронов мы можем обозначить каждое состояние его положением. $\vec{x}$и импульс $\vec{p}$и спин, который принимает одно из двух значений. Таким образом, сумма по всем состояниям $k$эквивалентен интегралу по положению и импульсу, умноженному на коэффициент спинового вырождения, равный 2: $$\sum_k = 2 \int \frac{d^3\vec{x}d^3\vec{p}}{h^3}.$$ Нормировка интегральной меры постоянной Планка $h$необходимо по размерным причинам и, в некотором смысле, определяет «размер» одного состояния в фазовом пространстве.

Теперь вспомним наш результат для$n_k$в$T = 0$:$n_k$отличен от нуля только для состояний с энергией меньше$E_F$. Если энергия состояния с импульсом$\vec{p}$дан кем-то$\epsilon(p) = \frac{p^2}{2m}$, то наш интеграл будет ограничен импульсом меньше, чем$\sqrt{2mE_F}$. Тогда наше выражение для$N$становится

$$N = \int_{p < \sqrt{2mE_F}}\frac{d^3\vec{x}d^3\vec{p}}{h^3} = \frac{4\pi V}{h^3} \int_0^{\sqrt{2mE_F}} p^2 dp = \frac{4\pi V}{3 h^3}(2mE_F)^{3/2}.$$ Здесь, $V$это объем системы.

Ту же игру мы можем провести с энергией. Логика не меняется:

$$E = \sum_k \epsilon_k n_k = \int_{p < \sqrt{2mE_F}}\frac{d^3\vec{x}d^3\vec{p}}{h^3} \frac{p^2}{2m}$$ .

Я оставлю эту оценку в качестве упражнения. Соотношение$\frac{E}{N}$это то, что вы ищете.