Статистическая механика и универсальность постоянной Планка

На вопросы , касающиеся включения постоянной Планка в статистическую механику, общепринятым и общепринятым ответом является то, что постоянная Планка представляет собой произвольную нормировку, которая выпадает при вычислении экспериментально измеряемых величин.

В частности, в приведенных выше вопросах сказано, что час входит, чтобы обезразмерить продукт г п г д или нормализовать г п г д для подсчета состояний, и выбор такой константы с единицами действия почти произволен.

Наоборот, рассмотрим, как вычисляются величины в большом каноническом ансамбле с переменным числом частиц, упомянутом в этом вопросе .

В большом каноническом ансамбле ключевым потенциалом является великий потенциал, т.

Φ "=" U − Т С − мю Н .
Ссылка на статистическую механику исходит из
Φ "=" − к Т п ⁡ ( Z ) ,

где

Z "=" ∑ Н е β мю Н Z ( В , Н , Т ) .

Для простоты рассмотрим классическую статистическую сумму Z для N невзаимодействующих частиц. У нас есть то, что

Z "=" 1 час 3 Н Н ! ( ∫ г 3 п г 3 д е − β Е ( п , д ) ) Н

Это дает, в свою очередь, что

Z "=" е 1 час 3 ( ∫ г 3 п г 3 д е − β Е ( п , д ) ) е β мю

и в свою очередь что Φ пропорциональна 1 час 3 :

Φ "=" − к Т 1 час 3 ( ∫ г 3 п г 3 д е − Е ( п , д ) к Т ) е мю к Т .

Например, для невзаимодействующих безмассовых частиц с Е "=" с п в ящике с двумя внутренними степенями свободы с мю "=" 0 (т.е. наивная картина света, без всякого час положить в энергию или еще что-то), у нас есть

Φ "=" − 16 π к 4 час 3 с 3 Т 4 В .
Это приводит к давлению

п "=" 16 π к 4 час 3 с 3 Т 4
из термодинамического соотношения выше.

Как вы видете, час входит в экспериментально измеримую величину! Таким образом, можно экспериментально измерить постоянную Планка через давление такого газа. Я оставлю это вам, чтобы проверить это час также входит в давление нерелятивистского газа при фиксированном мю .

Я исхожу из приведенных выше аргументов, что час это не просто произвольная константа для обезразмеривания произведения г п г д . Учитывая эту точку зрения, что обезразмеривание г п г д имеет экспериментальные разветвления, можем ли мы показать, что для каждой системы, находящейся в термодинамическом равновесии, константа обезразмеривания час должна быть универсальной константой? То есть, поскольку обезразмеривание не является произвольным, можем ли мы показать, что константа обезразмеривания должна быть одинаковой для всех равновесных систем в классической статистической механике?

Ответы (2)

Я не думаю, что значение константы нормализации, обезразмеривающей интеграл фазового пространства в статистической сумме, является произвольным. Уже в 1912 году Сакур и Тетрод использовали данные о давлении паров ртути, чтобы определить ее числовое значение, и обнаружили, что оно совпадает с постоянной Планка, открытой при изучении излучения абсолютно черного тела.

Не знаю, были ли в то время принципиальные основания предполагать, что эта константа универсальна, т. е. не зависит от используемого материала. Этому способствовал принцип неопределенности Гейзенберга, открытый 15 лет спустя.

Я настоятельно рекомендую эту статью для глубокого обсуждения и исторической перспективы работы Сакура и Тетрода.

(h/t Semiclassical , который помог мне понять это) Уравнение Сакура и Тетрода дает только экспериментально измеримое час от давления пара, если у вас есть хорошая модель зависимости теплоемкости твердого тела от температуры. Они оба используют для этого варианты модели Эйнштейна [см. нижнюю часть страницы 10 в документе, на который вы ссылаетесь], который является квантовой моделью, поэтому это не подтверждает утверждение, что час измерима чисто в классической статистической физике.
@ACuriousMind Спасибо, что изучили это. Два комментария: (1) Как вы заметили, в цитируемой статье использовалась модель Эйнштейна для расчета теплоемкости твердой ртути. Но так ли это строго необходимо или из-за отсутствия экспериментальных данных? Я бы предположил, что, по крайней мере в принципе, можно измерить теплоемкость, что сделало бы подход Сакура-Тетрод жизнеспособным способом определения час без базовой квантово-механической модели.
@ACuriousMind (2) Возможно, что более важно, я считаю, что неправильно говорить, что значение количества час то, что появляется в классической функции распределения, является «произвольным», что для меня звучит как «неважно, какое значение вы используете, результаты всегда будут одинаковыми». Мне кажется, что есть только одно правильное значение (6,626E-34 м^2 кг/с), но это значение не предсказывает классическая теория, а должно быть получено из эксперимента.
@user8153 user8153 Может быть, следующий способ лучше сказать, что час это: В чистой классической статистической механике значение час не имеет значения - вы можете выразить все физически измеримые величины в терминах, которые не включают его. Не существует не только классического предсказания, но и чисто классического рецепта измерения. Классическая статистическая механика агностична относительно того, час является фундаментальной особенностью Вселенной или уловкой теоретика. Наши знания о квантовой механике в настоящее время прочно закрепляют за ней роль первого.
Заметим также, что измерения теплоемкости в дискретных точках недостаточно — уравнение СТ содержит интеграл по теплоемкости при постоянном давлении на всем пути от абсолютного нуля . Какими бы хорошими мы ни были в проведении экспериментов, я сомневаюсь, что существует эксперимент, который позволит вам собрать данные, необходимые для хорошего приближения этого интеграла.
Спасибо за обсуждение. Измерение теплоемкости в дискретных точках может с высокой точностью аппроксимировать интеграл. Я считаю, что использование криостатов должно позволять измерять сотни температур и находить значение h с высокой точностью. Даже в 1970-х годах (pubs.acs.org/doi/pdf/10.1021/je60047a035) мы могли найти приличные данные о теплоемкости от абсолютного нуля.
@ACuriousMind Спасибо за разъяснение. Не знаю, как совместить ваши комментарии с работой Sackur-Tetrode. Не является ли уравнение (41) в приведенной ретроспективе измерительным предписанием, основанным исключительно на классической статистической механике, позволяющим определить численное значение час из экспериментальных наблюдений (по крайней мере, в принципе - как вы говорите, получить точные данные по теплоемкости может быть сложно)? Мне кажется, разные значения час будет давать разные давления пара, поэтому только одно конкретное значение час делает классическую теорию совместимой с экспериментом.
Я понял, что задача с теплоемкостью вовсе не экспериментальная: чисто классическая теория должна была бы использовать классическую теорию твердых тел, т. е. иметь постоянную теплоемкость, как того требует Дюлонг-Пти. Само представление о зависящей от температуры теплоемкости твердого тела является неклассическим. То есть даже представить себе экспериментальный рецепт, в котором вы должны измерять с ( Т ) вам уже нужно отбросить часть классической термодинамики.
@ACuriousMind Я согласен с тем, что обычно невозможно сделать правильный теоретический прогноз теплоемкости без квантовой механики. Например, исчезновение теплоемкости при абсолютном нуле обычно является признаком квантованных уровней энергии. Однако в классической статистической механике теплоемкость, безусловно, может меняться в зависимости от температуры. Просто нужен гамильтониан, скажем, с немного сложной зависимостью от импульса или положения, чтобы нельзя было заменить температурную зависимость в необходимых интегралах, например, статистической суммой.
продолжение Например, включение взаимодействий между частицами в газе приводит к непостоянной теплоемкости с температурой и другим эффектам, таким как отличные от нуля вириальные коэффициенты. Желание экспериментально измерить теплоемкость возникает из-за температурной зависимости, вызванной межчастичными взаимодействиями, а не только из-за квантования энергетических уровней (по общему признанию, обычно больший эффект вблизи абсолютного нуля).
Хотя этот ответ не полностью решает аспект универсальности вопроса, я нашел статью превосходной и удовлетворен тем, что классическая модель в сочетании с экспериментальными данными может позволить измерить постоянную Планка. Таким образом, я выбрал это в качестве ответа. Я буду продолжать думать об аспекте универсальности и буду добавлять любые обновления в качестве собственного ответа.

Вывод в вопросе вводит в заблуждение, потому что он преждевременно устанавливает химический потенциал равным нулю. Даже в системах, где он равен нулю, вы должны носить его с собой до окончательного вычисления выражений, так как он является свободным параметром макросостояния в большом каноническом ансамбле.

В частности, химический потенциал содержит п ⁡ ( час 3 / вещи ) фактор (например, классический идеальный нерелятивистский газ имеет мю ∝ п ⁡ ( λ 3 Н В ) , с λ тепловая длина волны де Бройля, пропорциональная час ), что, поскольку именно летучесть входит в физические величины, час 3 в знаменателе.

Следовательно, ваш подход не требует универсального классического значения для час , так как результаты могут быть повторно выражены в терминах величин, которые не включают час . Обратите внимание, в частности, что вы не можете экспериментально непосредственно измерить химический потенциал мю - вам нужно вычислить его из косвенных измерений, с формулами, которые в этом случае также будут включать час .

Спасибо за ответ. В большом каноническом ансамбле фиксированными параметрами являются T, V и мю . Давление и количество частиц колеблются, потому что они не зафиксированы. я не верю в это мю является свободным параметром.
Также бывают случаи, когда природа «исправляет» мю а не количество частиц, классическим примером является фотонный газ. Тем не менее, мы можем даже исправить мю а не количество частиц, прикрепив нашу систему к ванне с «числом частиц». Вот как я думаю об этом, пожалуйста, позвольте мне услышать ваши мысли: нагревательная ванна может отдавать тепло без заметного изменения ее температуры, пока примыкающая меньшая система не будет иметь ту же температуру. Ванна с числом частиц может давать частицы без заметного изменения ее химического потенциала до тех пор, пока соседняя меньшая система не будет иметь тот же химический потенциал.
@user196574 мю фиксируется для конкретного макросостояния в большом каноническом примере. Это свободный параметр в том смысле, что выводы, которые должны выполняться для системы , должны выполняться для всех возможных значений этого параметра, точно так же, как они должны выполняться для всех значений Т и В (которые подчиняются уравнению состояния). Нельзя просто сказать «но Т "=" 1 К в моей системе». Это не свойство системы, а состояние системы . В любом экспериментальном тесте вы должны установить, что действительно мю "=" 0 для состояния, которое вы измеряете, тем самым теряя способность измерять час .
Думаю, мне нужно освежить свои знания о химическом потенциале, прежде чем вернуться к роли час в большом каноническом ансамбле. В частности, необходимо ли иметь какое-то теоретическое выражение для мю (это зависит от час ), чтобы можно было установить мю , или могут ли они быть способами экспериментального определения химического потенциала без знания час , так же как есть способы экспериментально определить объем без знания час .
Статистическая механика и универсальность постоянной Планка
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v