Статистика плетения энонов из неабелевой теории Черна-Саймона

Учитывая 2 + 1D абелеву K-матричную теорию Черна-Саймона (с мультиплетом внутреннего калибровочного поля а я ) функция распределения:

Z знак равно опыт ⁡ [ я ∫ ( 1 4 π К я Дж а я ∧ г а Дж + а ∧ * Дж ( ℓ м ) + а ∧ * Дж ( ℓ н ) ) ]

с любыми (линиями Вильсона) Дж ( ℓ м ) а также Дж ( ℓ н ) .

Можно проинтегрировать внутреннее калибровочное поле а чтобы получить член Хопфа, который мы интерпретируем как угол статистики плетения, т. е. фаза, полученная полной волновой функцией системы, когда мы делаем полное плетение между двумя энионами:

опыт ⁡ [ я θ а б ] ≡ опыт ⁡ [ я 2 π ℓ а , я К я Дж − 1 ℓ б , Дж ]
см. также этот документ и этот документ .

Я хотел бы знать , как получить статистику плетения любых ионов из неабелевой теории Черна-Саймона ? (как правило, это должна быть матрица.) Как получить эту матрицу плетения из неабелевой теории Черна-Саймона?

Ответы (2)

Как получить эту матрицу плетения из неабелевой теории Черна-Саймона?

Для получения матрицы плетения U а б для частицы а а также б , нам сначала нужно знать размерность матрицы. Однако размерность матрицы для неабелевой теории Черна-Саймона НЕ определяется а а также б один. Скажем, если мы поместим четыре частицы а , б , с , г на сфере размерность вырожденных основных состояний зависит от а , б , с , г . Так что даже размер матрицы плетения U а б зависит от с а также г . «Плетеная матрица» U а б не определяется двумя частицами а а также б .

Итог: физически неабелева статистика не описывается «матрицей плетения» двух частиц. а а также б , а по модулярной тензорной категории.

(Унитарный) «фазовый» фактор для неабелевых анионов удовлетворяет (неабелеву) уравнению Книжника-Замолодчикова:

( ∂ ∂ г α + 1 2 π к ∑ β ≠ α Вопрос α а Вопрос β а г α − г β ) U ( г 1 , . . . . , г Н ) знак равно 0

Где г α - комплексная плоская координата частицы α , а также Вопрос α а является матричным представителем а − Генератор калибровочной группы частицы α а также к это уровень.

Пожалуйста, ознакомьтесь со следующими двумя статьями Ли и О ( статья-1 , статья-2 ).

В первой статье явно написано решение в случае задачи двух тел:

U ( г 1 , г 2 ) знак равно е Икс п ( я Вопрос 1 а Вопрос 2 а 2 π к л н ( г 1 − г 2 ) )

В статьях описан способ решения:

Неабелев фазовый фактор может быть получен из квантово-механической модели Н частицы на плоскости, каждая из которых, возможно, принадлежит разным представлениям калибровочной группы, минимально связанной с калибровочным полем с членом Черна-Саймонса в лагранжиане.

Классические уравнения поля калибровочного потенциала могут быть точно решены и подставлены в гамильтониан. Приведенный гамильтониан также может быть точно решен. Его решение дается действием унитарного фазового множителя на симметричную волновую функцию. Этот фактор удовлетворяет уравнению Книжника-Замолодчикова.

Унитарный фазовый фактор живет в гильбертовом пространстве тензорного произведения представлений отдельных частиц. Волновая функция представляет собой вектор в этой голоморфной функции со значениями в гильбертовом пространстве, зависящий от Н точки на плоскости.

Спасибо, Дэвид. Вы предлагаете другой способ, которого я раньше не знал. Как связать эту точку зрения с теорией, не принадлежащей Абу Черну-Саймонсу? (способ, который я знал раньше, был способом в полиномиальной статье Джонса Виттена и подходе петли Уилсона. Есть ли связь с этим подходом петли Уилсона?)
@Idear Эти два подхода очень похожи (но не совсем эквивалентны). На самом деле Виттен в своей статье о полиномах Джонса (на стр. 365) ссылается на это сходство и утверждает, что петлю Вильсона можно «рассматривать» как траекторию частицы в 2+1 измерениях. Виттен ссылается на известную статью Полякова, в которой использовалась стратегия, которую позже использовали Ли и О. Это лишь один из многочисленных вопросов, о которых Виттен только говорил в своей статье о полиномах Джонса (даже не приводя ни одной формулы), которая оказалась очень плодотворной для последующих исследований.
@Ideat продолжение Подход Виттена более «термодинамический», и он предпочитает видеть следы неабелевой статистики в статистической сумме. Точнее, (и этот факт тоже не так многословно был записан в статье Виттена): неабелеву петлю Вильсона можно представить себе как частицу, движущуюся по группе, или многообразие флагов, прилипшее к границе в пределе где его масса равна нулю. Затем его динамика при квантовании ограничивается самым нижним уровнем Ландау, производя правильную вставку петли Вильсона.
Справедливо ли уравнение Книжника-Замолодчикова и для других поверхностей? Как тор или сфера?
@Hamurabi Существуют обобщения Книжника-Замолодчикова, например arXiv:arXiv:hep-th/9510143, hep-th/9410091, для эллиптических кривых и римановых поверхностей.
Спасибо!!! Ну прямо на первой странице hep-th/9410091v2 написано, что формула, которую вы привели выше, предназначена для сферического случая. Так в чем разница с самолетом?
это может вас заинтересовать: physics.stackexchange.com/questions/121384/…
Статистика плетения энонов из неабелевой теории Черна-Саймона
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v