Топологическое вырождение основного состояния SU(N), SO(N), Sp(N) теории Черна-Саймонса

После изложения решения я попытаюсь дать некоторые физические представления, насколько мне известно, и еще несколько ссылок.

Размерность требуемого пространства состояний задается формулой Верлинде, имеющей следующий вид для общей компактной полупростой группы Ли$G$на римановой поверхности рода$g$соответствующий уровню$k$:

$$\mathrm{dim} V_{g,k} =(C (k+h)^r)^{g-1} \sum_{\lambda \in \Lambda_k}\prod_{\alpha \in \Delta}(1-e^{i\frac{\alpha .(\lambda+\rho)}{k+h}})^{(1-g)}$$

(См . уравнение Блау и Томпсона 1.2.). Здесь,$C$приказ центра,$h$является двойственным инвариантом Кокстера,$\rho$составляет половину суммы положительных корней, и$r$ранг$G$.$g$это род,$\Delta$это множество корней и$\Lambda_k$- множество интегрируемых старших весов алгебры Каца-Муди$G_k$.

Для тора ($g=1$), эта формула упрощается до:

$$\mathrm{dim} V_{\mathrm{Torus},k} = \# \Lambda_k$$

т. е. размерность равна числу интегрируемых старших весов алгебры Каца-Муди$G_k$.

Интегрируемые старшие веса уровня-$k$Алгебра Каца-Муди задается следующими ограничениями:

$$\lambda - \mathrm{dominant}, 0 \leq \sum_{i=1}^r \frac{2 \lambda. \alpha^{(i)}}{ \alpha^{(i)}. \alpha^{(i)}}\leq k$$

Где$\alpha^{(i)}$являются простыми корнями, см., например, следующий обзор Фукса по алгебрам Каца-Муди.

(Мой любимый справочник по теории представлений алгебр Каца-Муди — это обзор Годдарда и Оливии , который, кажется, недоступен в сети)

Например для$SU(3)_k$чьи доминирующие веса$2$-кортежи неотрицательных чисел$(n_1, n_2)$, приведенное выше условие сводится к:

$$\mathrm{dim} V^{SU(3)}_{\mathrm{Torus},k} = \# (n_1\geq 0, n_2\geq 0, 0\leq n_1 + n_2 \leq k )= \frac{(k+1)(k+2)}{2}$$

Чтобы выполнить вычисления для более общих случаев, можно использовать основополагающий обзор Слански.

Формула Верлинде была открыта до появления теории Черна-Саймонса. Первоначально это размерность пространства конформных блоков для модели WZW. Эта формула была получена различными способами, см. сноску 26 в обзоре Фукса. Это все еще активная тема исследования, см., например, новый вывод в этой недавней статье Гукова.

Теория Черна-Саймонса может быть наиболее сложным примером, в котором постулаты квантования Дирака могут быть реализованы в духе. (точнее их обобщение в геометрическом квантовании). Я имею в виду, начиная с фазового пространства и используя определенный набор правил, чтобы связать с ним гильбертово пространство. В случае теории Черна-Саймонса фазовое пространство представляет собой множество решений классических уравнений движения. Классические уравнения движения требуют, чтобы напряженность поля обращалась в нуль, другими словами, связь была плоской.

Это фазовое пространство (пространство модулей плоских связностей) конечномерно, имеет кэлерову структуру и может быть геометрически квантовано как кэлерово многообразие, как и в случае гармонического осциллятора. Таким образом, задача в принципе может быть сведена к задаче квантовой механики.

Случай тора является самым простым, потому что все может быть выполнено явно в абелевом и неабелевом случае, пожалуйста, см. следующую явную конструкцию Боса и Наира (более краткое изложение содержится в обзоре Данна ).

В случае тора пространство модулей плоских связностей в абелевом случае также является тором, а в неабелевом случае:

$$\mathcal{M} = \frac{T \times T}{W}$$

куда$T$является максимальным тором$G$. В принципе, фоковское квантование можно унести, но есть еще одно ограничение на допустимые волновые функции, вытекающее из требования инвариантности относительно больших калибровочных преобразований (см., например, обзор Данна). Инвариантные волновые функции называются неабелевыми тета-функциями, и они находятся во взаимно однозначном соответствии с интегрируемыми старшими весами алгебры Каца-Муди. (В абелевом случае волновые функции представляют собой тэта-функции Якоби).

В случае более высокого рода, хотя программа квантования, ведущая к формуле Верлинде, в принципе может быть выполнена, известно несколько явных результатов, см. следующую статью Лизы Джеффри (а также следующие конспекты лекций ). Размерность этих пространств модулей известна. Кроме того. Виттен в остроумной работе вычислил их симплектические объемы и кольца их когомологий в некоторых случаях.

Идея Виттена состоит в том, что, как и в случае простого спина, размерность гильбертова пространства в квазиклассическом пределе ($k \rightarrow \infty$) становится пропорциональным объему и старшему показателю$k$— комплексная размерность пространства модулей (обратите внимание, например, что в случае$SU(3)$на торе старший показатель равен$2$что такое ранг$SU(3)$что является размерностью максимального тора$T$).

Из https://www.math.ksu.edu/~gerald/voas/mtc/kmB2_1.html мы находим, что$SO(5)_1$Теория Черна-Саймонса имеет 3-кратное вырождение на торе.

Из https://www.math.ksu.edu/~gerald/voas/mtc/kmC3_1.html мы находим, что$Sp(6)_1$Теория Черна-Саймонса имеет 4-кратное вырождение на торе.

Вы можете найти результаты для многих других теорий Черна-Саймонса.