Я встречал термин «топологический заряд», определенный абстрактным математическим способом как схему маркировки частиц, которая следует определенным правилам. Однако мне остается гадать, когда я пытаюсь объяснить, какие физические свойства системы приводят к необходимости введения этого нового типа «заряда».
Если это имеет какое-то значение, я заинтересован в изучении статистических свойств систем квантового Холла (и, в частности, анионной интерферометрии), где различные топологические заряды вносят вклад в общее число квантовых состояний.
Локальные квазичастичные возбуждения и топологические квазичастичные возбуждения
Чтобы понять и классифицировать любые квазичастицы в топологически упорядоченных состояниях, таких как состояния FQH, важно понимать понятия локальных возбуждений квазичастиц и топологических возбуждений квазичастиц. Сначала определимся с понятием "частичноподобных" возбуждений.
Рассмотрим систему с трансляционной симметрией. Основное состояние имеет однородную плотность энергии. Если у нас есть состояние с возбуждением, мы можем наблюдать распределение энергии состояния по пространству. Если в какой-то локальной области плотность энергии выше, чем в основном состоянии, а в остальной области плотность энергии такая же, как в основном состоянии, то можно говорить о наличии в этой области "частицеподобного" возбуждения, или квазичастицы. область. Квазичастицы, определенные таким образом, можно разделить на два типа. Первый тип может быть создан или уничтожен локальными операторами, такими как спин-флип. Следовательно, они неустойчивы к возмущениям. Второй тип — робастные состояния. Более высокая локальная плотность энергии не может быть создана или удалена никакимместные операторы в этом районе. Мы будем называть квазичастицы первого типа локальными квазичастицами, а квазичастицы второго типа — топологическими квазичастицами.
В качестве простого примера рассмотрим одномерную модель Изинга с открытым граничным условием. Есть два основных состояния: все вращения вверх или все вниз. Простое переключение одного спина основного состояния приводит ко второму возбужденному состоянию и создает локальную квазичастицу. С другой стороны, первыйвозбужденное состояние похоже на доменную стенку. Например, все спины слева направлены вверх, а спины справа — вниз, а доменная стена между верхним и нижним доменами представляет собой топологическую квазичастицу. Переворачивание спинов рядом с доменной стенкой перемещает квазичастицу, но не может ее удалить. Такие квазичастицы защищены граничным условием. Пока два краевых спина противоположны, в объеме будет по крайней мере одна доменная стенка или одна топологическая квазичастица. Более того, переворот спина можно рассматривать как две доменные стенки.
Из понятий локальных квазичастиц и топологических квазичастиц мы также можем ввести понятие топологических типов квазичастиц (то есть топологических зарядов ), или просто типов квазичастиц. Мы говорим, что локальные квазичастицы относятся к тривиальному типу, а топологические квазичастицы — к нетривиальному типу. Также две топологические квазичастицы относятся к одному и тому же типу тогда и только тогда, когда они различаются локальными квазичастицами. Другими словами, мы можем превратить одну топологическую квазичастицу в другую, применяя некоторые локальные операторы. Общее число топологических типов квазичастиц (включая тривиальный тип) также является топологическим свойством. Оказывается, это топологическое свойство напрямую связано с другим топологическим свойством для 2+1D топологических состояний:Число типов топологических квазичастиц равно вырождению основного состояния на торе . Это одно из многих удивительных и глубоких соотношений в топологическом порядке.
См. также Почему дробная статистика и неабелевость являются общими для дробных зарядов? , Физическое понимание фракционирования , и В чем разница между фракционированием заряда в 1D и 2D?
Различие между «обычными» и топологическими зарядами связано с тем, что сохранение обычных зарядов является следствием теоремы Нётер , т. е. когда рассматриваемая система обладает симметрией, то по теореме Нётер соответствующий заряд равен законсервированный.
Топологические заряды, с другой стороны, не соответствуют симметрии данной модели системы, и они происходят от процедуры, которую можно назвать топологическим квантованием. Пожалуйста, ознакомьтесь с основополагающей работой Орландо Альвареса, объясняющей некоторые аспекты этой темы. Эти топологические заряды соответствуют топологическим инвариантам многообразий, связанных с физической задачей.
Одним из самых основных примеров является условие квантования Дирака , которое подразумевает квантование магнитного заряда в единицах, обратных величине электрического заряда. Это условие связано с квантованием первого класса Черна линейчатого квантового расслоения. Также можно получить условие квантования из требования однозначности интеграла по траекториям. Существование топологических инвариантов связано с нетривиальной топологией рассматриваемого многообразия, например, с ненулевыми гомотопическими группами, см. следующий обзор В. П. Наира.
Конечно, топологические заряды могут быть и неабелевыми; Основным примером этого явления является монополь 'т Хоофта-Полякова, где эти решения имеют неабелевы заряды, соответствующие весовым векторам двойственного элемента неразрывной калибровочной группы. См. следующий обзор Годдарда и Олив.
Следует подчеркнуть, что различие между обычными зарядами и топологическими зарядами зависит от модели, и «обычные» заряды в одной модели системы проявляются как топологические заряды в другой модели той же системы. Например, электрический заряд частицы можно получить как топологический заряд в описании Калуцы-Клейна. См. раздел 7.6 здесь, в Марсдене и Ратиу.
Топологические заряды иногда соответствуют целочисленным параметрам модели, например, Виттену удалось получить квантование числа цветов из (квазиклассического) топологического квантования коэффициента терма Весса-Зумино модели Скирма.
Простым примером, где квантовые числа могут быть получены как топологические заряды, является изотропный гармонический осциллятор. Если мы рассмотрим изотропный Гармонический осциллятор в двух измерениях, то его энергетические гиперповерхности будут -сферы, которые можно рассматривать как расслоения окружностей над -сфера расслоением Хопфа. -сферы представляют собой редуцированные фазовые пространства (энергетических гиперповерхностей) двумерного осциллятора. В квантовой теории площади этих сфер необходимо квантовать, чтобы допустить линейное расслоение. Это условие квантования эквивалентно квантованию энергии гармонического осциллятора.
На самом деле, эти альтернативные представления физических систем, в которых обычные заряды появляются как топологические заряды, предлагают возможные объяснения квантования этих зарядов в природе (например, модель Калуцы-Клейна для электрического заряда).
Текущее направление исследований в этом направлении - найти топологические «объяснения» дробных зарядов. Одним из известных примеров является разложение относительного гиперзаряда кварков (в единицах ), что можно объяснить требованием отмены аномалий (которое является топологическим) стандартной модели, где вклад кварков должен быть умножен на (из-за трех цветов). Кроме аномалий известно, что существование полей разных неприводимых представлений в одной модели и отдельно заузленных конфигурациях может порождать дробные заряды.
Флавин