Дополнительный вопрос по теме «Петли Уилсона как повышающие операторы»

Переписка такая:$W(a)= e^{2i \pi y}, \quad W(b) = e^{-2i \pi x}$.

От$[x,y] = \frac{i}{2\pi k}$ $(9)$, мы получаем :$W(a)W(b) = e^{ \large \frac{2i\pi}{k}} W(b) W(a)$(см. предыдущий ответ ).

Как поясняется в тексте между формулами$(19)$и$(20)$,$x$и$y$может принимать только дискретные значения$\frac{1}{k},\frac{2}{k},....., \frac{k-1}{k},1$.

Прямым следствием этого является:$W^k(a) = W^k(b) = \mathbb{Id}$, как и хотелось, из-за отождествлений$x= x+1$и$y = y+1$.

[РЕДАКТИРОВАТЬ]

Петли Уилсона

Вот нестрогий аргумент, но это мое ощущение. Если мы посмотрим на уравнение$(4)$из вашей статьи мы видим, что:

$$a_0(x_1,x_2,t)=0, \quad a_1(x_1,x_2,t)= 2 \pi \frac{x(t)}{L_1}, \quad a_2(x_1,x_2,t)= 2 \pi \frac{y(t)}{L_2}\tag{4}$$

Теперь выберите путь$(a)$:$x_2$увеличение ,$0 \le x_2 \le L_2$, и$x_1,t$постоянная (так$dx_1=0$) мы бы хотели иметь :

$$\oint_a (a_i dx^i) = \oint_a (a_2 dx^2) = \int_0^{L_2} 2 \pi \frac{y(t)}{L_2} = 2 \pi y(t) \tag{5}$$

Итак, у нас было бы:

$$W(a) = e^{ \large i\oint_a (a_i dx^i)} = e^{2 i\pi y} \tag{6}$$

В том же духе выбирай путь$(b)$:$x_1$уменьшение ,$0 \le x_1 \le L_1$, и$x_2,t$постоянная (так$dx_2=0$) мы бы хотели иметь :

$$\oint_b (a_i dx^i) = \oint_a (a_1 dx^1) = \int_{L_1}^0 2 \pi \frac{x(t)}{L_1} = -2 \pi x(t) \tag{7}$$

Итак, у нас было бы:

$$W(b) = e^{\large i\oint_b (a_i dx^i)} = e^{-2 i\pi x} \tag{8}$$

Основа

Потому что импульс$p$является$p=2\pi kx = -i\frac{\partial}{\partial y}$, мы можем переписать$W(b)$как$W(b) = e^{\large -\frac{1}{k}\frac{\partial}{\partial y}}$.

Итак, у нас есть:$W(b) \psi(y) = \psi(y-\frac{1}{k})$

Тогда естественно постулировать следующее основание:

$$\psi_n(y) = \langle n|y\rangle = \delta (ky - n) \tag{9}$$

Мы видим, что :

$$W(a) \psi_n(y) = e^{2i \pi y} \delta (ky - n)= e^{2i \pi \large \frac{n}{k}}\delta (ky - n) = e^{2i \pi \large \frac{n}{k}} \psi_n(y) \tag{10}$$

$$W(b) \psi_n(y) = \psi_n(y - \frac{1}{k}) = \delta(k (y -\frac{1}{k}) - n) = \delta (ky - (n+1)) = \psi_{n+1}(y)\tag{11}$$