Вершина распространяющегося волнового пакета: асимптотика вне всех порядков седловой точки разложения

Это технический вопрос, возникающий при отображении несвязанной проблемы на динамику нерелятивистской массивной частицы в измерениях 1+1. Эта проблема связана с тем, что в асимптотике доминирует член, выходящий за все порядки разложения седловой точки (сингулярные члены асимптотического ряда), как в проблеме времени жизни связанного состояния в отрицательной связи 1 + 0. ф 4 игрушечная модель.

Рассмотрим частицу с начальной (нормированной) волновой функцией

ψ 0 ( Икс ) "=" е − ( Икс + е − Икс ) / 2
Эта специфическая форма определяет естественную единицу для Икс , обратите внимание на двойную экспоненциальную асимптотику ψ 0 ( Икс ) как Икс → − ∞ .

Эволюция времени при гамильтониане ЧАС "=" − 1 2 ∂ Икс 2 преобразует волновую функцию в (используя пропагатор из учебника )

ψ ( Икс , т ) "=" ( 2 π я т ) − 1 / 2 ∫ е я ( Икс − Икс ′ ) 2 / ( 2 т ) ψ 0 ( Икс ′ ) д Икс ′

Мой вопрос касается асимптотики этого интеграла , особенно переднего фронта, распространяющегося влево. Вот где я ударился о стену:

Расширение седловой точки в т − 1 дает

т | ψ ( Икс , т ) | 2 ∼ е − е − Икс [ 1 + ( е 3 Икс − 2 е 2 Икс ) т − 1 / 8 + О ( т − 2 ) ]
который хорошо сходится (проверено численно) для Икс ≳ 1 , но не фиксирует условия заказа е Икс / т которые доминируют над двойной экспонентой при отрицании Икс .

Для т → + ∞ решение становится симметричным,

| ψ ( Икс , т → ∞ ) | 2 "=" 1 т чушь ⁡ ( π Икс / т )

Любые идеи/подсказки будут оценены.

РЕДАКТИРОВАТЬ: результат был использован в публикации: Phys. Преподобный Летт. 109, 216801 (2012) ; версия с открытым доступом , см. уравнение (9).

Незначительная опечатка в вопросе (v3): квадратный корень ( 2 π я т ) 1 / 2 во второй формуле должно стоять в знаменателе.
@Qmechanic Спасибо, исправил это! Я склонен к опечаткам :(

Ответы (1)

После некоторой борьбы и полезной подсказки от коллеги проблема, наконец, разрешилась:

  1. Переход к импульсному пространству дает

    ψ 0 к "=" ∫ ψ 0 ( Икс ) е я к Икс д Икс "=" 2 − я к + 1 / 2 Г ( − я к + 1 / 2 )

  2. Применение временной эволюции с ЧАС "=" к 2 / 2 дает

    ψ ( Икс , т ) "=" 1 2 π ∫ е − я к 2 т / 2 − я к Икс ψ 0 к д к

  3. Используя крупно- г асимптотическое разложение для Г ( г + 1 ) и определение точки стационарной фазы вблизи к ≈ − Икс / т дают главный порядок, совпадающий с асимптотикой т ≫ 1 решение:

    ψ ( Икс , т ) ∼ ( 2 / т ) е π Икс / т

  4. Наконец, префактор восстанавливается путем сохранения всех ведущих журналов в расширении Г ( г + 1 ) и решение для стационарной точки с использованием W-функции Ламберта (для которой Mathematica хорошо обрабатывает асимптотику ), дает окончательный ответ

    ψ ( Икс , т ) "=" ( 2 / т ) е π Икс / т ( − 2 Икс / т ) π / т + О ( т 1 + ϵ )
    с ϵ > 0 , Годен до Икс ≪ − т как для т большой и маленький.

Спасибо всем, кто обратил внимание и помог советом.

Вершина распространяющегося волнового пакета: асимптотика вне всех порядков седловой точки разложения
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v