Швингеровское представление операторов для n-частичных 2-модовых симметричных состояний

Предыдущий ответ полностью переписан

Мне кажется, что ваша гипотеза верна, с точностью до постоянной поправки:

$$\sum_{\textstyle{\pi: \{1,2,\ldots,n\} \to \{\mathbb{I}, \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z\} \atop \forall i \in \{x,y,z\}:\ \mathrm{card}(\pi^{-1}(\sigma_i))=n_i}} \!\!\bigotimes_{i=1}^n\ \ \pi(i) \cong \frac1{n_x! n_y! n_z!} \mathopen{:} \left( a^\dagger b + b^\dagger a \right)^{n_x} \left( - i a^\dagger b + i b^\dagger a \right)^{n_y} \left( a^\dagger a - b^\dagger b\right)^{n_z} \mathclose{:},$$ и что это можно доказать с помощью многомерной индукции.

Для общего$n_x, n_y, n_z$, позволять

$$[\![n_x, n_y, n_z]\!]$$ символически обозначают оператор в левой части изображения кубита.

Шаг индукции может быть основан на наблюдении

$$[\![1,0,0]\!][\![n_x, n_y, n_z]\!] = (n_x+1)[\![n_x+1, n_y, n_z]\!] - i(n_y+1)[\![n_x, n_y+1, n_z-1]\!] + i(n_z+1)[\![n_x, n_y-1, n_z+1]\!] + (n-n_x-n_y-n_z+1)[\![n_x-1, n_y, n_z]\!].$$ (Это вопрос простой комбинаторики, чтобы найти множители.) Существуют совершенно аналогичные соотношения для умножения на $[\![0,1,0]\!]$или же $[\![0,0,1]\!]$тоже слева. Определяя двойные квадратные скобки равными нулю, когда любой из компонентов отрицателен, этот набор отношений выполняется универсально, и достаточным набором опорных точек является вигнеровское представление $[\![1,0,0]\!]$, $[\![0,1,0]\!]$, $[\![0,0,1]\!]$, где мы доказываем эквивалентность формулам картинок Фока непосредственно.

Теперь можно было бы просто доказать справедливость любого из соотношений (рассуждая по симметрии) для правой части, используя переупорядочение произведений после умножения на

$$[\![1,0,0]\!] \cong a^\dagger b + ab^\dagger$$ а также $$n \cong a^\dagger a + b^\dagger b$$ слева. Это требует определенного объема работы, но должно быть выполнимо. (Я пытался, но столкнулся с какой-то числовой ошибкой.)

Имея в виду будущее редактирование, я попытаюсь закончить доказательство шага индукции, чтобы увидеть, прав ли я насчет дополнительного множителя.

Предполагая, что отношение истинно, я сомневаюсь, что существует какая-либо более «закрытая форма», чем расширение

$$\sum_{j=0}^{n_x} \sum_{k=0}^{n_y} \sum_{l=0}^{n_z} \frac{(-1)^{k+n_z-l} i^{n_y}}{j!k!l!(n_x-j)!(n_y-k)!(n_z-l)!} (a^\dagger)^{j+k+l} a^{n_x+n_y-j-k+l} (b^\dagger)^{n_x+n_y+n_z-j-k-l} b^{j+k+n_z-l}$$ так как это, похоже, не имеет никакой факторизации, кроме той, в которой используются обычные скобки переупорядочения.

Постулируемое соотношение верно, и не только для кубитов, но и для произвольных систем d-уровня. Мне потребовалось некоторое время, чтобы показать это (при решении вопроса о том, какие симметричные чистые состояния кудита могут быть достигнуты с помощью локальных операций? ), и доказательство находится в:

• П. Мигдал, Х. Родригес-Лагуна, М. Османец, М. Левенштейн, Какие многофотонные состояния связаны линейной оптикой? , arXiv:1403.3069 [Приложение B: Швингеровское представление симметричных операторов]

Это не сложно, но немного технично. Все это немного долго, чтобы писать здесь, но вкратце, основные моменты:

• Ввести и показать, что это совместимо с операторами уничтожения и создания:

$$a_\mu^\dagger = \frac{1}{\sqrt{n+1}} \sum_{i=0}^{n} |\mu\rangle_i$$ $$a_\mu = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=0}^{n-1} \langle\mu|_i,$$

куда$|\mu\rangle_i$означает вставку$|\mu\rangle$между$i$-й и$(i+1)$-я частица, тогда как$\langle\mu|_i$удаляет$i$-я частица. $n$это общее количество частиц в состоянии, на которое он действует.

• Показывая, что имеет место следующее

$$a_{\mu_1}^\dagger \cdots a_{\mu_k}^\dagger a_{\nu_k} \cdots a_{\nu_1} |\psi\rangle$$ $$=\left( \sum_{\text{p.d. }l_1,\ldots,l_k} |\mu_1\rangle_{l_1}\langle\nu_1|_{l_1} \cdots |\mu_k\rangle_{l_k}\langle\nu_k|_{l_k} \right) |\psi\rangle,$$ куда $\sum_{\text{p.d. }l_1,\ldots,l_k}$означает сумму по попарно различным индексам.

• Выражение любого симметричного оператора через правую часть вышеприведенного.