Мне интересно, имеют ли помимо физической интерпретации одномерные контактные взаимодействия (самосопряженные расширения свободного гамильтониана, когда они определены везде, кроме начала координат) геометрическую интерпретацию в соответствии с линиями некоммутативной геометрии, липшицевым расстоянием и т. д.
В частности, некоторые расширения (например, псевдодельта Альбеверио-Холдена) выглядят так, как будто мы только что вырезали отрезок длиной из бесплатного решения, а затем просто вставил полустрочки. Так что в каком-то смысле их можно считать просто свободным решением для двух полупрямых, разделенных расстоянием. .
Тем не менее, полный набор расширений состоит из четырех параметров, поэтому мне не ясно, имеют ли остальные параметры геометрическую интерпретацию, или даже можно ли эту интерпретировать в расстояние Липшица. Кроме того, в некоммутативной геометрии (NCG) иногда разделение связано с потенциалом Хиггса, а не с самосопряженными расширениями; Должен ли я удивляться предполагаемой связи между обоими понятиями?
Геометрическая интерпретация состоит в том, что самосопряженные расширения кодируют разумные граничные условия, которые делают уравнение Шредингера однозначно разрешимым при сохранении эрмитовости. (Аналогичные проблемы возникают для уравнения Шредингера в ограниченной области в . Без граничных условий он недоопределен, а с неподходящими краевыми условиями не является эрмитовым.)