Что не так в этом ложном выводе о «расширении» длины?

Прежде чем мы начнем, я обнаружил, что большую часть путаницы со специальной теорией относительности можно устранить, если мы воспользуемся стандартным соглашением, поэтому я собираюсь использовать все «штрихованные» величины для представления величин, измеренных в$S^\prime$рамке, и все числа без штриха представляют те же самые количества в$S$рамка. (Другими словами, количество$L$то, что ОП использует в своем вопросе, я буду называть$L^\prime$. Я извиняюсь за это, но я считаю, что это облегчает понимание моего ответа.)

Позвольте мне также записать преобразования Лоренца:

$$\begin{equation} \begin{aligned} &\text{(A)}\quad\Delta x^\prime = \gamma \left(\Delta x - v \Delta t\right)\\ &\text{(B)}\quad \Delta t^\prime = \gamma \left( \Delta t - \frac{v}{c^2}\Delta x\right)\\ \\ &\text{(C)}\quad\Delta x = \gamma \left(\Delta x^\prime + v \Delta t^\prime \right)\\ &\text{(D)}\quad \Delta t = \gamma \left( \Delta t^\prime + \frac{v}{c^2}\Delta x^\prime \right)\\ \end{aligned} \label{LT} \end{equation}$$

И, наконец, давайте проясним определение длины. Для наблюдателя, сидящего в$S^\prime$, так как объект покоится по отношению к нему, его длина$L^\prime$это просто разница в координатах, независимо от того, когда$x_B^\prime$и$x_A^\prime$измеряются. Он мог измерить$x_B^\prime$, выпейте кофе, а затем измерьте$x_A^\prime$и разница даст ему длину. Однако для наблюдателя, сидящего в$S$, так как объект движется относительно нее, обе конечные точки$x_B$и$x_A$должны быть измерены одновременно в ее системе отсчета ($S$) для того, чтобы разница была длиной$L$. (Другими словами, если она пьет кофе между измерениями$x_B$и$x_A$, то между измерениями объект бы двигался!) Итак, имеем

$$L^\prime = x_B^\prime - x_A^\prime |_\text{ for any $\Delta t^\prime$}$$ $$L = x_B - x_A |_\text{ only when $\Delta t=0$}$$

Если вы понимаете это, остальная часть ответа довольно проста. Будем считать, как и вы, что измеряемый нами объект покоится в системе отсчёта.$S^\prime$, а его длина измеряется как от$S$(в котором он движется вправо со скоростью$v$) и$S^\prime$в котором он находится в состоянии покоя.

Наблюдатель в$S$требует одновременного измерения конечных точек объекта в ее системе отсчета, так как в противном случае объект перемещался бы между измерениями. Другими словами, для$(x_B - x_A)$чтобы быть длиной, мы требуем, чтобы$\Delta t = t_B - t_A = 0$. Примечание: мы не ставим никаких условий на$\Delta t^\prime$. Это может быть (и не является!) нулем. Два наблюдателя, движущиеся с некоторой скоростью$v$по отношению друг к другу не согласятся на одновременные события .

Таким образом, нам нужно найти связь между$\Delta x$и$\Delta x^\prime$, когда$\Delta t=0$. Ошибка, которую вы допустили в своем аргументе, заключается в том, что вы$\Delta x$и$\Delta x^\prime$когда$\Delta t^\prime=0$. Итак, ошибка возникает, когда вы говорите, что$\Delta x|_{\Delta t^\prime = 0} = L$, длина измеряется в$S$.

Мы ссылаемся на приведенные выше преобразования и видим, что (А) — это преобразование, которое мы должны использовать, поскольку оно связывает эти величины.

$$\begin{equation*} \begin{aligned} \Delta x^\prime &= \gamma \left(\Delta x - v \Delta t\right)\\ \Delta x^\prime|_{\Delta t = 0} &= \gamma \left(\Delta x|_{\Delta t =0} - v \Delta t|_{\Delta t = 0}\right)\\ \\ L^\prime &= \gamma L \end{aligned} \end{equation*}$$

Таким образом, длина, которую измеряет наблюдатель, когда он находится в состоянии покоя по отношению к объекту (т.$S^\prime$)$L^\prime$всегда больше, чем$L$, так как, как вы указываете,$\gamma > 1$. Таким образом, наблюдатель, сидящий в$S$, относительно которого объект движется с постоянной скоростью, будет иметь длину$L$что короче : длины сокращаются !

«Это измеряется одновременно, поэтому Δ𝑡′=0». Это требование одновременности (измерения положений передней и задней части стержня) необходимо только в кадрах, в которых стержень движется. Таким образом, ваша S'-рама — это рамка, в которой стержень движется, а ваша S-рама (в которой измерения спереди и сзади не одновременны) — это система, в которой стержень находится в состоянии покоя, потому что одновременность измерений не требуется. в этом случае.

Так что ваши$\Delta x$является$L$(или$L_0$) и ваш$\Delta x'$длина стержня в системе координат, в которой он движется. С$\gamma>0$эта длина явно сокращена!