Суперзаряд в N=1N=1\mathcal{N}=1 суперсимметричной квантовой механике и теорема Нётер

Рассмотрим$0+1$размерный лагранжиан

$$L=\frac{1}{2}\dot{X}^2(t)+i \psi(t) \dot{\psi}(t).\tag{1.24}$$

По сути, это лагранжиан частицы, движущейся в одном измерении,$X$, с дополнительной степенью свободы$\psi$. Это можно рассматривать как лагранжиан для вращающейся частицы, движущейся в одном измерении.

Определите преобразования суперсимметрии (и подумайте о$\delta$как фермионный оператор на полях) как

$$\delta X=2i \epsilon \psi\tag{1.28a}$$ и $$\delta \psi=- \epsilon \dot{X}.\tag{1.28b}$$

отмечая, что$\psi$и$\delta$антикоммутативный,$X$и$\delta$ездить, а также что$\delta$является линейным оператором, легко видеть, что

$$\delta L = i \epsilon \frac{d}{dt}(\psi \dot{X}).\tag{1.29}$$

Таким образом, действие инвариантно, поскольку лагранжиан изменяется только на полную производную при вышеуказанном преобразовании. Сохраняющийся «ток» (фактически в одном измерении это сохраняющийся заряд) дает по теореме Нётер:

$$\epsilon Q=\frac{\partial L}{ \partial \dot{X}} \delta X+\frac{\partial L}{ \partial \dot{\psi}} \delta \psi-i \epsilon \psi \dot{X}=2i\epsilon \dot{X} \psi-i \epsilon \dot{X} \psi-i \epsilon \psi \dot{X}=0!\tag{1}$$

Так что обвинение оказывается тривиальным. Однако в этих заметках в уравнении (1.30) утверждается, что наддув на самом деле равен

$$Q=\psi \dot{X}.\tag{1.30}$$

Что мне не хватает?