Существует ли лагранжева формулировка статистической механики?

Question

Существует ли лагранжева формулировка статистической механики?

Н. Дева

В статистической механике мы обычно мыслим в терминах гамильтонова формализма. В определенное время $t$ , система находится в определенном состоянии, где «состояние» означает обобщенные координаты и импульсы для потенциально очень большого числа частиц. (Ради этого вопроса меня в первую очередь интересуют классические системы.) Поскольку это состояние не может быть точно известно, мы рассматриваем ансамбль систем. Интегрируя каждую точку в этом ансамбле вперед во времени (или, что чаще, рассматривая то, что произошло бы, если бы мы могли выполнить такой интеграл), мы получаем результаты о макроскопическом поведении ансамбля. Использование формализма Гамильтона полезно, в частности, потому, что оно дает нам понятие объема фазового пространства, которое сохраняется при эволюции во времени для изолированной системы.

Мне кажется, что ансамбли можно было бы рассматривать и в рамках лагранжевого формализма. В этом случае мы имели бы распределение вероятностей по начальным значениям координат (но не по их скоростям) и другое распределение по конечным значениям координат (но не по их скоростям). (На самом деле я предполагаю, что это должны быть две совместно распределенные случайные величины, так как между ними легко могут быть корреляции.) Тогда это приведет к распределению вероятностей по путям, по которым система переходит от одной к другой. Я никогда не видел упоминания об этом лагранжевом подходе в статистической механике. Мне любопытно, была ли реализована эта идея и приводит ли она к каким-либо полезным результатам. В частности, я'

Виджей Мурти

Существует формализм функции отклика / Мартина-Сиггиа-Роуза , который превращает описание Ланжевена в картину интеграла по путям. Смотрите здесь для более простого описания одной частицы. Не уверен, что это то, что вы ищете.

Н. Дева

@VijayMurthy, это выглядит интересно, и я посмотрю на это подробнее. Судя по этим рукописным заметкам, они начинают со стохастической динамики, а затем получают что-то похожее на континуальный интеграл; тогда как я надеюсь на что-то, что начинается с классического лагранжиана, а затем выводит на его основе статистический ансамбль. Но спасибо, и я с нетерпением жду возможности поближе познакомиться.

Славики

@VijayMurthy Для Wilson RG все спиновые модели преобразуются в непрерывную форму, что означает, что вы получаете лагранжиан типа Ландау-Гинзбурга.

Виджей Мурти

@Славикс, спасибо за комментарий. Можно написать функционал действия и не нужно делать РГ. ОП запросил лагранжево описание, а не РГ. Функционал действия MSR можно написать и для систем частиц. Так что я не понимаю вашего комментария. Возможно, я что-то упускаю.

Хуанрга

Как подчеркивает Вайнберг в своем учебнике по КТП, генератором временных трансляций в квантовой механике является гамильтониан, а не лагранжиан. Так называемая лагранжева формулировка квантовой механики не является правильной лагранжевой формулировкой, потому что в действительности используется гамильтониан : методы), но не всегда легко выбрать гамильтонианы, которые дают лоренц-инвариантную S-матрицу .

Н. Дева

@juanrga вопрос чисто о классической физике.

Хуанрга

Генератор сдвигов времени в статистической механике (как классической, так и квантовой) — это лиувиллиан, который является функцией гамильтониана, а не лагранжиана. В классической статистической механике

L = {H,}

$\mathcal{L}=\{H, \}$ и эволюция состояния

ρ (t) = \exp [L t] ρ_{0}

$\rho(t) = \exp[\mathcal{L}t] \rho_0$ . Лиувиллиан является функцией гамильтониана, поскольку генератором временных трансляций в квантовой механике является гамильтониан.

Хуанрга

Обратите внимание, что классический лиувиллиан — это всего лишь первый член в степенном разложении квантового лиувиллиана по степеням

ℏ

$\hbar$ . А квантовый лиувиллиан следует из смешанной суперпозиции квантовых чистых состояний.

Н. Дева

@juanrga Я понимаю это более или менее, но мне трудно увидеть связь с моим вопросом. Не могли бы вы рассказать об этом более подробно, пожалуйста?

Ответы (5)

Существует ли лагранжева формулировка статистической механики?

Существует формализм функции отклика / Мартина-Сиггиа-Роуза , который превращает описание Ланжевена в картину интеграла по путям. Смотрите здесь для более простого описания одной частицы. Не уверен, что это то, что вы ищете.
@VijayMurthy, это выглядит интересно, и я посмотрю на это подробнее. Судя по этим рукописным заметкам, они начинают со стохастической динамики, а затем получают что-то похожее на континуальный интеграл; тогда как я надеюсь на что-то, что начинается с классического лагранжиана, а затем выводит на его основе статистический ансамбль. Но спасибо, и я с нетерпением жду возможности поближе познакомиться.
@VijayMurthy Для Wilson RG все спиновые модели преобразуются в непрерывную форму, что означает, что вы получаете лагранжиан типа Ландау-Гинзбурга.
@Славикс, спасибо за комментарий. Можно написать функционал действия и не нужно делать РГ. ОП запросил лагранжево описание, а не РГ. Функционал действия MSR можно написать и для систем частиц. Так что я не понимаю вашего комментария. Возможно, я что-то упускаю.
Как подчеркивает Вайнберг в своем учебнике по КТП, генератором временных трансляций в квантовой механике является гамильтониан, а не лагранжиан. Так называемая лагранжева формулировка квантовой механики не является правильной лагранжевой формулировкой, потому что в действительности используется гамильтониан : методы), но не всегда легко выбрать гамильтонианы, которые дают лоренц-инвариантную S-матрицу .
@juanrga вопрос чисто о классической физике.
Генератор сдвигов времени в статистической механике (как классической, так и квантовой) — это лиувиллиан, который является функцией гамильтониана, а не лагранжиана. В классической статистической механике $\mathcal{L}=\{H, \}$ и эволюция состояния $\rho(t) = \exp[\mathcal{L}t] \rho_0$ . Лиувиллиан является функцией гамильтониана, поскольку генератором временных трансляций в квантовой механике является гамильтониан.
Обратите внимание, что классический лиувиллиан — это всего лишь первый член в степенном разложении квантового лиувиллиана по степеням $\hbar$ . А квантовый лиувиллиан следует из смешанной суперпозиции квантовых чистых состояний.
@juanrga Я понимаю это более или менее, но мне трудно увидеть связь с моим вопросом. Не могли бы вы рассказать об этом более подробно, пожалуйста?

Давид Бар Моше · Answer 1

Переход между гамильтоновым и лагранжевым формализмом в механике может быть осуществлен с помощью теории Гамильтона — Якоби .

Рассмотрим, например, классический статистический ансамбль на фазовом пространстве $(x,p)$ определяется:

А. (Исходное) состояние этого ансамбля определяется функцией распределения $f(x_0,p_0)$ удовлетворяющие условию нормировки:

\int ф ({Икс}_{0}, п_{0}) г {Икс}_{0} г п_{0} знак равно 1

$\displaystyle{\int f(x_0,p_0) dx_0dp_0 = 1}$

( $(x_0,p_0)$ начальные условия)

B. Эволюция во времени определяется функцией Гамильтона $H(x,p, t)$ .

Согласно теории Гамильтона-Якоби существует фазовая функция Гамильтона-Якоби $S(x_0, x_1, t_0, t_1)$ удовлетворяющее уравнению Гамильтона-Якоби:

\frac{\partial С}{\partial т} + ЧАС ({Икс}_{1}, \frac{\partial С}{\partial {Икс}_{1}}, т) знак равно 0

$\displaystyle{\frac{\partial S}{\partial t}+H\left(x_1,\frac{\partial S}{\partial x_1}, t\right) = 0}$

(куда $(x_1,p_1)$ - координаты и импульсы во времени $t$ )

Импульсы могут быть получены из фазовой функции Гамильтона-Якоби:

п_{я} знак равно \frac{\partial С}{\partial {Икс}_{я}}

$\displaystyle{p_i = \frac{\partial S}{\partial x_i}}$

Задача выражения состояния системы через начальные и конечные координаты сводится к задаче преобразования вероятностных распределений. Мы можем определить состояние системы в начальной и конечной координатах как:

Ф_{т} ({Икс}_{0}, {Икс}_{1}) знак равно ф ({Икс}_{0}, \frac{\partial С}{\partial {Икс}_{1}} ({Икс}_{0}, {Икс}_{1}, т))

$\displaystyle{F_t(x_0, x_1) = f\left(x_0,\frac{\partial S}{\partial x_1}(x_0, x_1, t) \right)}$

Якобиан преобразования задается следующим образом:

г {Икс}_{0} г п_{0} знак равно \frac{\partial^{2} С}{\partial {Икс}_{0} \partial {Икс}_{1}} г {Икс}_{0} г {Икс}_{1}

$\displaystyle{dx_0 dp_0 = \frac{\partial^2 S}{\partial x_0\partial x_1}}dx_0 dx_1$

И условие нормализации:

\int Ф_{т} ({Икс}_{0}, {Икс}_{1}) \frac{\partial^{2} С}{\partial {Икс}_{0} \partial {Икс}_{1}} ({Икс}_{0}, {Икс}_{1}, т) г {Икс}_{0} г {Икс}_{1} знак равно 1

$\displaystyle{\int F_t(x_0, x_1) \frac{\partial^2 S}{\partial x_0\partial x_1}(x_0, x_1, t)dx_0dx_1 = 1}$

В общем случае совместное распределение $F_t(x_0, x_1)$ не будет отделимым

Сяо-Ци Сунь · Answer 2

Сяо-Ци Сунь

Существует версия статистической физики, основанная на теории поля. Температура подобна воображаемому времени. Таким образом, мы можем сформулировать теорию интегралом по путям с действием, определяемым лагранжианом.

Н. Дева

Я знаю об этом. Хотел бы я понять это лучше, но я не думаю , что это то, что я ищу. По крайней мере, связь между двумя идеями не очевидна.

Скайлер

Не могли бы вы рассказать об этом немного подробнее, похоже, это точно связано с вопросом, который я ранее задавал: physics.stackexchange.com/q/161559

Кошка

Полевая версия статистической механики возникает, когда вы переходите к евклидову времени, и лагранжиан там просто становится гамильтоновым. Так устанавливается связь в первую очередь. Я говорю о том, что между лагранжевым формализмом и статистической механикой не установлена концептуальная связь, скорее, лагранжиан преобразуется в гамильтониан для перехода к статистической механике. Поправьте меня, если я ошибаюсь.

Дилатон · Answer 3

Я не уверен, что это то, чем вы занимаетесь (это связано с тем, что сказал Сяо-Ци Сунь), но я тоже попробую ...

В начале главы V.2 своей книги QFT Nutshell Энтони Зи объясняет, как классическая статистическая механика (характеризуемая соответствующей статистической суммой, включающей функцию Гамильтона) в $d$ - размерное пространство связано с евклидовой теорией поля (характеризуется соответствующим производящим функционалом или интегралом по траекториям с участием лагранжиана).

Чтобы увидеть эту связь, рассмотрим, например, интеграл Минковского по траекториям скалярного поля.

(1) Z знак равно \int Д ф е^{(я / ℏ) \int г^{г} Икс [\frac{1}{2} (\partial ф)^{2} - В (ф)]} знак равно \int Д ф е^{(я / ℏ) \int г^{г} Икс л (ф)} знак равно \int Д ф е^{(я / ℏ) С (ф)}

$(1) \,\, \cal{Z} = \int\cal{D}\phi e^{(i/\hbar)\int d^dx[\frac{1}{2}(\partial\phi)^2-V(\phi)]} = \int\cal{D}\phi e^{(i/\hbar)\int d^dx\cal{L}(\phi)} = \int\cal{D}\phi e^{(i/\hbar)S(\phi)}$

При вращении Вика плотность Лагранжа $\cal{L}(\phi)$ превращается в плотность энергии и действие $S(\phi)$ заменяется энергетическим функционалом $\cal E(\phi)$ поля $\phi$

(2) Z знак равно \int Д ф е^{(- 1 / ℏ) \int г_{Е}^{г} Икс [\frac{1}{2} (\partial ф)^{2} + В (ф)]} знак равно \int Д ф е^{(- 1 / ℏ) Е (ф)}

$(2) \,\, \cal{Z} = \int\cal{D}\phi e^{(-1/\hbar)\int d^d_Ex[\frac{1}{2}(\partial\phi)^2+V(\phi)]} = \int\cal{D}\phi e^{(-1/\hbar)\cal{E}(\phi)}$

с

Е (ф) знак равно \int г_{Е}^{г} Икс [\frac{1}{2} (\partial ф)^{2} + В (ф)]

$\cal E(\phi) = \int d^d_Ex[\frac{1}{2}(\partial\phi)^2+V(\phi)]$

Теперь это можно сравнить с классической статистической механикой системы N частиц с энергией

Е (п, д) знак равно \sum_{я} \frac{1}{2 м} п_{я}^{2} + В (д_{1}, д_{2}, \dots, д_{Н})

$E(p,q) = \sum_i \frac{1}{2m}p_i^2+V(q_1,q_2,\cdots,q_N)$

и соответствующая статистическая сумма

Z знак равно \prod_{я} \int г п_{я} г д_{я} е^{- β Е (п, д)}

$Z = \prod_i\int dp_i dq_i e^{-\beta E(p,q)}$

Интегрирование по импульсам $p_i$ получается приведенная статистическая сумма

Z знак равно \prod_{я} \int г д_{я} е^{- β В (д_{1}, д_{2}, \dots, д_{Н})}

$Z = \prod_i\int dq_i e^{-\beta V(q_1,q_2,\cdots,q_N)}$

Следуя обычной процедуре, чтобы получить теорию поля, соответствующую этой редуцированной статистической сумме, полагая $i\rightarrow x$ , $q_i \rightarrow \phi(x)$ и выявление $\hbar = 1/\beta = k_B T$ он имеет точно такой же вид, как интеграл Евклида по траекториям (2).

Итак, наконец, можно увидеть, что в этом примере (приведенная) статистическая сумма системы N частиц в d-мерном пространстве соответствует интегралу по траекториям скейлерного поля в d-мерном пространстве-времени.

Эти аргументы могут быть дополнительно обобщены для получения интегрального представления квантовой статистической суммы, диаграмм Фейнмана с конечной температурой и т. д.

Если я правильно понимаю, этот ход мыслей, связывающий статистическую механику с теорией поля, например, применяется в таких темах, как неравновесная функциональная ренормгруппа или в AdS/CFT , чтобы связать корреляционные функции на стороне CFT с амплитудами струн на стороне AdS. .

Спасибо. Я спрашивал о формулировании классической статистической механики в терминах классического лагранжиана, тогда как это связывает классическую статистическую механику с квантовым лагранжевым подходом (т.е. континуальными интегралами). Но я (несколько лениво) задаюсь вопросом, есть ли какая-то глубокая связь между этими двумя идеями.
(По какой-то причине мой почтовый ящик не пропинговался, когда вы ответили. Интересно, почему.)
@ Натаниэль Я написал первую версию этого поста далеко за полночь, поэтому мне пришлось сначала спрятать ее, пока я не прочитаю и не закончу ее утром ...
Недавно я узнал, что даже для классических систем, таких как, например, уравнения Навье-Стокса, можно вывести своего рода «путевой» или функциональный интеграл. Затем интегрирование, среди прочего, выполняется по всем решениям уравнений Навье-Стокса, вместо всех путей, скалярные поля соответствуют (компонентам) скорости и т. д. И может быть получено соответствующее (довольно длинное и некрасивое) действие. на всякий случай тоже.
Поскольку, например, теория турбулентности может быть описана с помощью неравновесной статистической механики (в формализме MaxEnt можно было бы иметь поток энергии или энстрофии, которые являются постоянными в масштабно-инвариантном поддиапазоне в качестве дополнительных релевантных переменных, появляющихся в неравновесной функции распределения), должно быть связь между функциональными интегралами уравнений Навье-Стокса и некоторыми статистическими статистическими функциями механики тоже я думаю. Но этого я еще не видел в деталях до сих пор.
Может быть, эта взаимосвязь появляется в этой статье, в которой также должен быть параграф о турбулентности. У меня пока нет времени рассмотреть его поближе.
Вы случайно не о творчестве Родди Дьюара? Этот разговор о классических интегралах по траекториям и MaxEnt напоминает мне о его работе.
@ Натаниэль, о чем именно работа Родди Дьюара? Я этого не знаю ... Я просто знаю о MaxEnt как для классической, так и для квантовой механики из курса неравновесной статистики, который я прошел, и эта статья, которую я нашел весьма поучительной, и о том, как найти формулировку интеграла по путям уравнений Навье-Стокса Я научился этому в первый раз. Действие уравнения Навье-Стокса также включает в себя некоторые сумасшедшие поля Грассмана и призрачные поля, ха-ха...
давайте продолжим эту дискуссию в чате

гацу · Answer 4

Гамильтоновая формулировка классической динамики приводит к очень сильной и важной теореме статистической механики — теореме Лиувилля. Как вы, наверное, уже знаете, в нем утверждается, что плотность вероятности $\rho(\mathbf{r}, \mathbf{p})$ быть около заданной точки $(\mathbf{r}, \mathbf{p})$ в фазовом пространстве следует уравнение эволюции:

$\frac{\partial \rho}{\partial t} = \{\rho, H \}$ куда $\{ \cdot\}$ обозначает скобки Пуассона.

Это уравнение эквивалентно эволюционным уравнениям Гамильтона для $(\mathbf{r}, \mathbf{p})$ .

Теперь, когда вы смотрите на макропеременные, можно понять (думаю, первым это сделал Цвандсиг), что уравнение Лиувилля (для микропеременных) дает начало уравнению Фоккера-Планка для этих макропеременных. По духу оно очень похоже на уравнение Лиувилля, за исключением того, что в нем есть стохастическая составляющая, простейшей характеристикой которой является добавление второй пространственной производной в правую часть уравнения эволюции.

Теперь, если вы разбираетесь в математике, вы также знаете, что любое уравнение Фоккера-Планка можно связать с набором стохастических уравнений для изучаемых макропеременных (одним из самых известных является уравнение Ланжевена)... и мы вернулись к чему-то очень важному. близки к уравнениям Гамильтона, но для макропеременных.

Если вам интересно, существует ли принцип минимального действия для этих стохастических уравнений, я не знаю об этом. Думаю, в этом отношении они очень похожи на уравнение Шрёдингера. Однако это означает, что действительно пропагаторы макропеременных могут быть выражены как интегралы по путям. Мера Винера — типичный случай.

Обратите внимание, что мой ответ сосредоточен на динамике Гамильтона и Лагранжа в классическом смысле, где они использовались для вычисления траекторий во времени.

В классической статистической механике можно найти лагранжев подход, аналогичный тому, что делается, скажем, в КТП. Это был бы подход Ландау-Гинзбурга к фазовым переходам и сложным системам в целом.

Спасибо за ответ, но мой вопрос о том, существует ли формализм, который использует принцип наименьшего действия, применяемый к микропеременным, для непосредственного построения ансамбля по траекториям в фазовом пространстве, без предварительного вывода гамильтоновых уравнений движения, а затем уравнения Фоккера-Планка.
Звучит сложно по крайней мере по одной причине. Принцип наименьшего действия есть функционал от обобщенных координат $\mathbf{q}(t)$ только поэтому для начала не существует такой вещи, как фазовое пространство. Более того, насколько мне известно, лагранжев формализм не подходит для описания эволюции какой-либо функции $\mathbf{q}(t)$ так что в основном я не совсем понимаю, как это будет работать... но, может быть, вы имеете в виду что-то более точное. Обратите внимание, однако, что существует нечто, называемое топологической энтропией , которая подсчитывает количество возможных путей в системе.
Идея состоит в том, что вы начнете с совместного распространения $\mathbf{q}(t_0)$ а также $\mathbf{q}(t_1)$ , который затем должен однозначно определять распределение по путям, используемым для перехода от начальной к конечной точке. Это многое ясно, но мне интересно знать, что следует из такой линии рассуждений. Одно из возможных применений могло бы состоять в том, чтобы дать краткий ответ на этот вопрос .
Хорошо, я не очень интересуюсь этим вопросом, но вас может заинтересовать работа Фаббриса Деббаша . Публикация 20, хотя, возможно, слишком проста для вас, может дать вам несколько советов, как двигаться дальше.

Оскар Хит-Стивенс · Answer 5

Я не уверен, что это совсем то, что вы ищете, поскольку классическая статистическая механика в равновесии по определению не является должным образом динамической системой, а минимизирует / максимизирует функцию.

С [п_{я}] знак равно - к_{Б} \sum_{я} п п (Икс) + Z \sum_{я} (п (Икс) - 1) + β \sum_{я} п_{я} Е_{я} - ⟨ Е ⟩ + мю \sum_{я} Н_{я} п_{я} - ⟨ Н ⟩ + . . .

$S[p_i] = -k_{B}\sum_{i}{\ln{p(x)}} + Z\sum_i{\big(p(x)-1\big)}+\beta\sum_i{p_iE_i-\langle E\rangle}+\mu\sum_i{N_ip_i-\langle N\rangle}+...$ не только восстанавливает распределение Больцмана, но и естественным образом приводит ко второму закону термодинамики и обеспечивает единый способ работы с любым ансамблем. Таким образом, это S иногда описывается как действие для равновесного распределения.

Можете ли вы объяснить, что означают термины в этом уравнении, и/или дать ссылку для дальнейшего чтения? На первый взгляд выглядит довольно странно - $p(x)$ такой же как $p_i$ ? (В таком случае $\sum_i(p(x)-1)$ равно нулю.) $\langle E \rangle$ определяется иначе, чем $\sum_i p_i E_i$ ? (Если нет, то почему оба фигурируют в уравнении?)
Ах, теперь я понял. То, что вы написали, не $S[p_i]$ но $\partial S/\partial p_i$ с множителями Лагранжа. Это подход MaxEnt к механизации статистики. На самом деле я его уже знаю, и речь идет о его распространении на системы, в которых есть время.

Существует ли лагранжева формулировка статистической механики?

Н. Дева

Виджей Мурти

Н. Дева

Славики

Виджей Мурти

Хуанрга

Н. Дева

Хуанрга

Хуанрга

Н. Дева

Ответы (5)

Давид Бар Моше

Сяо-Ци Сунь

Н. Дева

Скайлер

Кошка

Дилатон

Н. Дева

Н. Дева

Дилатон

Дилатон

Дилатон

Дилатон

Н. Дева

Дилатон

Н. Дева

гацу

Н. Дева

гацу

Н. Дева

гацу

Оскар Хит-Стивенс

Н. Дева

Н. Дева