Лагранжиан двумерной двойной маятниковой системы с пружиной

Question

Лагранжиан двумерной двойной маятниковой системы с пружиной

физика

На рисунке выше (извините за мои навыки рисования Пикассо) у нас есть общая двухмерная система двойного маятника с небольшой модификацией, вместо обычной проволоки вместо обычной проволоки соединяющая массы, есть пружина.

Несколько утверждений о системе:

Провод, соединяющий $m_1$ к точке вращения не имеет массы и имеет фиксированную длину $l$ .
Пружина соединительная $m_1$ и $m_2$ не имеет массы, имеет постоянную $k$ , нерастянутая длина $l_0$ и может только расширять/сокращать в $m_1$ - $m_2$ направление, называемое здесь $r$ .
Углы $m_1$ и $m_2$ с уважением к $y$ -ось $\theta$ и $\phi$ , соответственно.
Здесь нет трения.

Теперь я подумал об использовании $(r, \theta, \phi)$ как мои обобщенные координаты, однако я не уверен, что $r$ действительно должен быть одним из них . Декартовы координаты будут относиться к ним как

{\begin{array}{lcl} {Икс}_{1} "=" л грех θ \\ {Икс}_{2} "=" л грех θ + р грех ф \\ у_{1} "=" л потому что θ \\ у_{2} "=" л потому что θ + р потому что ф \end{array}

$\left \{ \begin{array}{lcl}x_1 = l \sin \theta \\ x_2 = l \sin \theta + r \sin \phi \\ y_1 = l \cos \theta \\ y_2 = l \cos \theta + r \cos \phi \end{array} \right.$

Я считаю, что это довольно прямолинейно. Теперь лагранжиан будет

л "=" Т - U "=" {\frac{1}{2} м_{1} ({\dot{Икс}}_{1}^{2} + {\dot{у}}_{1}^{2}) - м_{1} г у_{1}} + {\frac{1}{2} м_{2} ({\dot{Икс}}_{2}^{2} + {\dot{у}}_{2}^{2}) - м_{2} г у_{2}} - \frac{1}{2} к р^{2}

$L = T - U = \left \{ \frac{1}{2}m_1 \left(\dot{x}_1^2 + \dot{y}_1^2 \right) - m_1gy_1 \right \} + \left \{ \frac{1}{2}m_2 \left(\dot{x}_2^2 + \dot{y}_2^2 \right) - m_2gy_2 \right \} - \frac{1}{2}k r^2$

И если мы перепишем этот лагранжиан в терминах наших обобщенных координат $(r,\theta, \phi)$ мы получаем, после некоторой алгебры,

л "=" {\frac{1}{2} л^{2} {\dot{θ}}^{2} (м_{1} + м_{2}) + \frac{1}{2} м_{2} {\dot{р}}^{2} + \frac{1}{2} м_{2} р^{2} {\dot{ф}}^{2} + м_{2} л \dot{р} \dot{θ} грех (θ - ф) + м_{2} л \dot{р} \dot{θ} \dot{ф} потому что (θ - ф) - г л потому что θ (м_{1} + м_{2}) + м_{2} г р потому что ф - \frac{1}{2} к р^{2}}

$L = \Bigg\{ \frac{1}{2}l^2 \dot \theta^2 \left(m_1 + m_2 \right) + \frac{1}{2}m_2 \dot r^2 + \frac{1}{2}m_2 r^2 \dot \phi^2 \\ + m_2 l \dot r \dot \theta \sin \left( \theta - \phi \right) + m_2 l \dot r \dot \theta \dot \phi \cos \left( \theta - \phi \right) \\ -gl \cos \theta \left( m_1 + m_2\right) +m_2gr \cos \phi - \frac{1}{2} kr^2 \Bigg\}$

Что ~~в точности~~ напоминает лагранжиан для общего случая, как видно из (9) здесь , с двумя модификациями:

есть пружина длины $r$ подключение масс вместо другого провода фиксированной длины.
есть дополнительная потенциальная энергия $\frac{1}{2}kr^2$ из-за весны.

Мой вопрос:

Является $r$ действительно обобщенная координата или она может быть выражена только через углы, и если да, то как?

Ответы (1)

Лагранжиан двумерной двойной маятниковой системы с пружиной

Гоненц · Answer 1

Гоненц

Я не производил вычислений сам, но, насколько я могу судить, вы забыли взять производную от $r$ когда ты написал $\dot x_2^2$ с $r$ является переменной (она сжимается и растягивается), у вас должно быть что-то вроде:

{\dot{Икс}}_{2} "=" \dot{р} грех ф + \dots

$\dot x_2= \dot r \sin \phi + \cdots$

Я не знаю, сокращаются ли эти термины, но моя интуиция подсказывает, что они не должны.

Подумайте об этом так. Если бы я дал тебе $\phi,\theta$ в качестве начальных условий можете ли вы сказать мне, что $r$ должно быть? Вы, очевидно, не можете, потому что вы не знаете, насколько я растянул пружину, и, поскольку это начальное состояние, я могу делать все, что захочу. Таким образом, вы должны иметь $r$ как обобщенная координата.

физика

Это имеет большой смысл, я знал, что чего-то не хватает, но я не мог сказать, чего именно. Так что справедливо сказать

r = r (t)

$r=r(t)$ ? Моя интуиция говорит

r

$r$ должно быть что-то вроде

r (t) = \dot{ϕ} t + l_{0}

$r(t) = \dot{\phi} t + l_0$

Гоненц

ну не может же быть так? так как при этом длина пружины стремится к бесконечности как

t \to \infty

$t\to \infty$ но помимо этого, для

t = 0

$t=0$ Вы сказали, что длина пружины должна быть

l_{0}

$l_0$ . Почему то, может быть, мне нравятся растянутые пружины, а может быть, вам нравятся сжатые пружины (изначально).

физика

Я преждевременно разместил комментарий, как я сказал, я верю

r

$r$ будет зависеть от углов, так как пружина будет сжиматься/растягиваться при качании маятника, поэтому

r

$r$ также будет зависеть от

t

$t$ как вы сказали, но я полагаю, что прямое утверждение будет зависеть от

\dot{ϕ}

$\dot{\phi}$ в одиночку, как я ранее прокомментировал, было бы не совсем правильно.

Гоненц

Я обычно люблю считать степени свободы от начальных условий. Поскольку, если бы это было так,

r = f (θ, ϕ, \dots)

$r = f(\theta, \phi, \dots)$ то это должно выполняться и для начальных условий. А именно для

t = 0

$t=0$ но при любом

θ

$\theta$ и

ϕ

$\phi$ я могу выбрать любую

r

$r$ Я хочу. Таким образом, вы не можете выразить

r

$r$ с точки зрения

θ, ϕ, \dots

$\theta,\phi, \dots$

Гоненц

Обратите внимание, что вы также можете указать

\dot{θ}

$\dot \theta$ и т.д. для начальных условий.

физика

Я переписал лагранжиан, учитывая

\dot{r}

$\dot r$ а у меня очень сложный лагранжиан

л "=" \frac{1}{2} л^{2} {\dot{θ}}^{2} (м_{1} + м_{2}) + {\dot{р}}^{2} + р^{2} {\dot{ф}}^{2} + 2 л \dot{р} \dot{ф} грех (θ - ф) + 2 л р \dot{θ} \dot{ф} потому что (θ - ф) + г л потому что θ (м_{1} + м_{2}) + м_{2} г р потому что ф - \frac{1}{2} к р^{2}

$L = \frac{1}{2}l^2 \dot \theta^2 \left(m_1 + m_2 \right) + \dot r^2 + r^2 \dot \phi^2 + 2l \dot r \dot \phi \sin \left(\theta-\phi \right)\\ + 2lr \dot \theta \dot \phi \cos \left(\theta - \phi \right) + gl \cos \theta \left( m_1 + m_2 \right) + m_2 gr \cos \phi - \frac{1}{2} kr^2$

Гоненц

@phyundergrad почему вы ожидаете, что это будет просто? Я имею в виду, что система, которую вы рассматриваете, очень сложна. Черт, даже двойной маятник сам по себе достаточно сложен.

физика

Думаю, вы могли бы сказать, что я был избалован теми более простыми системами, с которыми вы обычно сталкиваетесь в ньютоновской механике, поэтому, когда я увидел, насколько абсурдно длинными были уравнения движения (используя Эйлера-Лагранжа) для этой системы, я подумал, что мог бы получил что-то не так. Но вы правы, даже для обычного двойного маятника лагранжиан и уравнения движения сложны, поэтому я полагаю, что добавление пружины не упростит задачу. Кстати, я хотел бы поблагодарить вас за ваш вклад, это было очень полезно.

Гоненц

@phyundergrad Если это помогло, вы можете принять это как свой ответ. См . здесь для получения дополнительной информации о том, как это работает. (В основном вам нужно нажать на галочку (✓) рядом с подсчетом голосов :)

Лагранжиан двумерной двойной маятниковой системы с пружиной

физика

Ответы (1)

Гоненц

физика

Гоненц

физика

Гоненц

Гоненц

физика

Гоненц

физика

Гоненц

Нахождение обобщенных координат, когда теорема о неявной функции не работает

Криволинейные координаты и базисные векторы

Голономные ограничения и степени свободы

Почему точечное преобразование в конфигурационном пространстве подразумевает, что P=∂q∂QpP=∂q∂QpP = \frac{\partial q}{\partial Q} p в фазовом пространстве?

Что такое голономные и неголономные связи?

Как вывести уравнение движения Лагранжа из уравнения Рута?

Преобразование координаты в лагранжиане

Должны ли обобщенные координаты быть ортогональными?

Каков тип функции обобщенного импульса?