Скобка Ли для алгебры Ли SO(n,m)SO(n,m)SO(n,m)

По определению метрический тензор$\eta_{ij}$тривиально преобразуется под определяющим представителем$SO(n,m)$.

$$\eta_{ij}=[D(g^{-T})]_{i}^{\ k}[D(g^{-T})]_{j}^{\ l}\eta_{kl} =[D(g^{-1})]^{k}_{\ i}[D(g^{-1})]^{l}_{\ j}\eta_{kl}$$ и это справедливо для всех $g\in SO(n,m)$. Рассмотрим однопараметрическую подгруппу определяющего представителя с матрицами $D(g)=e^{tJ}$куда $J^{i}_{\ j}$является элементом алгебры Ли и $t$является действительным параметром. Подставьте в приведенное выше уравнение, $$\eta_{ij}=[e^{tJ}]^{k}_{\ i}[e^{tJ}]^{l}_{\ j}\eta_{kl}$$ и дифференцировать по $t$в личности $t=0$. $$0=J^{k}_{\ i}\delta^{l}_{\ j}\eta_{kl}+\delta^{k}_{\ i}J^{l}_{\ j}\eta_{kl} =J^{k}_{\ i}\eta_{kj}+J^{k}_{\ j}\eta_{ik}$$ Это условие, которому должны подчиняться элементы алгебры Ли. Элементы алгебры Ли могут быть порождены антисимметризованной парой векторов $x^{i}$, $y^{j}$. $$J^{i}_{\ j}=x^{i}y_{j}-y^{i}x_{j}$$ где понижение осуществляется метрическим тензором $x_{i}=\eta_{ij}x^{j}$. Условие алгебры Ли автоматически выполняется при создании элементов алгебры Ли таким образом. Элементы алгебры Ли $J_{ab}$в вопросе просто сделаны путем выбора векторов $x$а также $y$как базисные векторы $x^{i}=\delta{^i}_{a}$, $y_{i}=\eta_{ij}\delta^{j}_{b}=\eta_{ib}$. $$[J_{ab}]^{i}_{\ j}=\delta^{i}_{a}\eta_{jb}-\delta^{i}_{b}\eta_{ja}$$ Теперь вычислите коммутатор (надеюсь, два разных использования квадратных скобок не слишком запутывают), $$[J_{ab},J_{cd}]^{i}_{\ j}=[J_{ab}]^{i}_{\ k}[J_{cd}]^{k}_{\ j}-[J_{cd}]^{i}_{\ k}[J_{ab}]^{k}_{\ j}$$ и несколько строк прямого расчета дают, $$[J_{ab},J_{cd}]^{i}_{\ j}=\eta_{bc}[J_{ad}]^{i}_{\ j}-\eta_{ac}[J_{bd}]^{i}_{\ j}-\eta_{bd}[J_{ac}]^{i}_{\ j}+\eta_{ad}[J_{bc}]^{i}_{\ j}$$ как коммутатор для определяющего rep. Алгебра Ли одинакова для всех представителей группы. Вопрос требует коммутатора для унитарного представителя группы. Для этого однопараметрическая унитарная подгруппа $D(g)=e^{itJ}$и поэтому элементы алгебры Ли определяющего представления переопределяются как принадлежащие унитарному представлению заменой $J\rightarrow iJ$. Коммутатор теперь становится, $$[iJ_{ab},iJ_{cd}]=\eta_{bc}iJ_{ad}-\eta_{ac}iJ_{bd}-\eta_{bd}iJ_{ac}+\eta_{ad}iJ_{bc}\\ -[J_{ab},J_{cd}]=i\eta_{bc}J_{ad}-i\eta_{ac}J_{bd}-i\eta_{bd}J_{ac}+i\eta_{ad}J_{bc}$$ который является коммутатором в вопросе, кроме общего изменения знака. Это легко исправить, изменив определение элементов алгебры Ли определяющего представления на, $$[J_{ab}]^{i}_{\ j}=\delta^{i}_{b}\eta_{ja}-\delta^{i}_{a}\eta_{jb} \ .$$

Здесь мы набросаем возможный вывод.

1. Позволять$\eta\in {\rm Mat}_{n\times n}(\mathbb{R})$быть реальной симметричной матрицей подписи$(p,q)$, куда$n=p+q$.

2. Определите группу Ли

   $$O(p,q)~:=~ \{ \Lambda\in {\rm Mat}_{n\times n}(\mathbb{R}) \mid \Lambda^T\eta \Lambda = \eta \},$$ куда$\Lambda^T$обозначает транспонированный$\Lambda$матрица. Докажите для удовольствия, что$O(p,q)=O(q,p)$.

3. Докажите, что если$\Lambda_1, \Lambda_2 \in O(p,q)$, то матричное произведение$\Lambda_1 \Lambda_2\in O(p,q)$.

4. Докажите, что если$\Lambda \in O(p,q)$, то обратная матрица$\Lambda^{-1} \in O(p,q)$.

5. Дайте определение алгебре Ли

   $$o(p,q)~:=~ \{ M\in {\rm Mat}_{n\times n}(\mathbb{R}) \mid M^T\eta + \eta M = 0\}.$$

6. Докажите, что если$M_1, M_2 \in o(p,q)$, то матричный коммутатор

   $$[M_1, M_2]~:=~M_1M_2-M_2M_1 ~\in ~o(p,q).$$

7. Если$O(p,q)\ni \Lambda= {\bf 1}_{n\times n}+ M$, куда$M\in {\rm Mat}_{n\times n}(\mathbb{R})$бесконечно мала, докажите, что$M\in o(p,q)$.

8. Определить генераторы$J^{ij}= -J^{ji}\in{\rm Mat}_{n\times n}(\mathbb{R})$в качестве

   $$(J^{ij})^k{}_{\ell}~:=~\eta^{ik}\delta^j_{\ell} - (i \leftrightarrow j).$$

9. Докажи это$J^{ij}\in o(p,q)$.

10. Докажи это

    $$[J^{ij},J^{k\ell}]~=~ \left(\eta^{jk}J^{i\ell} - (i \leftrightarrow j)\right) - (k \leftrightarrow \ell).$$

11. Приведенное выше соглашение делает алгебру Ли$o(n)$множество кососимметричных действительных$n\times n$матрицы, которые являются антиэрмитовыми. Если вам нужна алгебра Ли$o(n)$вместо этого быть набором эрмитовых$n\times n$матрицы, модифицируйте приведенные выше определения с соответствующими факторами мнимой единицы$i$.