Существует ли понятие «редуцированного» гамильтониана?

Question

Существует ли понятие «редуцированного» гамильтониана?

Дружелюбный Лагранж

Подобно тому, как мы можем построить матрицу плотности $\rho_A$ который представляет состояния в подсистеме $A$ путем частичной трассировки $\rho$ (полная матрица плотности всей подсистемы (скажем, $AB$ )), есть ли аналогичная операция, которую мы можем сделать на гамильтониане $H$ ?

Учитывать

я \frac{г}{г т} р_{Б} "=" я \frac{г}{г т} {Тр}_{А} (р) "=" {Тр}_{А} ([ЧАС, р]),

$i\frac{d}{dt} \rho_B = i\frac{d}{dt} \text{Tr}_A (\rho) = \text{Tr}_A ([H,\rho]),$ где последний шаг верен по линейности. Если для простоты мы находимся в двудольной системе такой, что

H = H_{A} \otimes H_{B}

$H=H_A \otimes H_B$ тогда мы можем продолжить массаж над выражением

\begin{aligned} я \frac{г}{г т} р_{Б} & "=" {Тр}_{А} ([ЧАС, р]) \\ "=" \sum_{я} (⟨ ф_{я} |_{А} \otimes 1_{Б}) [{ЧАС}_{А} \otimes {ЧАС}_{Б}, р] (| ф_{я} ⟩_{А} \otimes 1_{Б}) \\ "=" \sum_{я} Е_{я}^{А} \underset{злоупотребление обозначениями}{\underset{⏟}{(1_{А} \otimes {ЧАС}_{Б})}} (⟨ ф_{я} |_{А} \otimes 1_{Б}) р (| ф_{я} ⟩_{А} \otimes 1_{Б}) \\ - Е_{я}^{А} (⟨ ф_{я} |_{А} \otimes 1_{Б}) р (| ф_{я} ⟩_{А} \otimes 1_{Б}) \underset{злоупотребление обозначениями}{\underset{⏟}{(1_{А} \otimes {ЧАС}_{Б})}} \\ "=" [{ЧАС}_{Б}, \sum_{я} Е_{я}^{А} (⟨ ф_{я} |_{А} \otimes 1_{Б}) р (| ф_{я} ⟩_{А} \otimes 1_{Б})] \\ "=" [{ЧАС}_{Б}, р_{Б}], \end{aligned}

$\begin{align} i\frac{d}{dt} \rho_B & =\text{Tr}_A ([H,\rho]) \\ & = \sum_i (\langle \phi_i|_A\otimes 1_B)[H_A \otimes H_B,\rho](| \phi_i \rangle _A\otimes 1_B) \\ & =\sum_i E_i^A\underbrace{( 1_A \otimes H_B)}_\text{abuse of notation}(\langle \phi_i|_A\otimes 1_B)\rho(| \phi_i \rangle _A\otimes 1_B) \\ & \qquad -E_i^A(\langle \phi_i|_A\otimes 1_B)\rho(| \phi_i \rangle _A\otimes 1_B)\underbrace{( 1_A \otimes H_B)}_\text{abuse of notation} \\ & =\left[H_B, \sum_iE_i^A(\langle \phi_i|_A\otimes 1_B)\rho(| \phi_i \rangle _A\otimes 1_B)\right] \\ & = [H_B,\rho_B], \end{align}$ где злоупотребление обозначениями заключается в том, что тождество теперь

1_{A} : H^{*} \to H^{*}

$1_A:\mathcal{H}^* \rightarrow \mathcal{H}^*$ и не

1_{A} : H \to H

$1_A:\mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ ,

| ϕ_{i} ⟩_{A}

$|\phi_i\rangle_A$ является собственным набором

H_{A}

$H_A$ с собственной энергией

E_{i}^{A}

$E_i^A$ и в последней строке я переопределил основу частичной трассировки.

Этот расчет, если он правильный, подразумевает, что $H_B$ является «приведенным» гамильтонианом на $B$ , это верно?

Для меня это не тривиально, так как могут быть взаимодействия между $A$ и $B$ (и то, что это важно, почему не тривиально для меня).

По симметрии

\sum_{i} E_{i}^{A} ⟨ ϕ_{i} |_{A} ρ | ϕ_{i} ⟩_{A} \neq {T r}_{A} ρ

$\sum_i E_i^A \langle \phi_i |_A \rho |\phi_i \rangle_A \ne \mathrm{Tr}_A \rho$ . есть дополнительный

E^{A}

$E^A$ внутри суммы.

Дж. Мюррей

Соответствующая вики: Открытые квантовые системы

Дружелюбный Лагранж

@BySymmetry Не можете ли вы определить

| {\tilde{ϕ}}_{i} ⟩_{A} := \sqrt{E_{i}^{A}} | ϕ_{i} ⟩_{A}

$| \tilde{\phi}_i \rangle_A := \sqrt{E_i^A}| \phi_i \rangle_A$ так что

\sum_{i} E_{i}^{A} ⟨ ϕ_{i} |_{A} ρ | ϕ_{i} ⟩_{A} = \sum_{i} ⟨ {\tilde{ϕ}}_{i} |_{A} ρ | {\tilde{ϕ}}_{i} ⟩_{A} = {Tr}_{A} ρ

$\sum_i E_i^A \langle \phi_i |_A \rho |\phi_i \rangle_A = \sum_i \langle \tilde{\phi}_i |_A \rho | \tilde{\phi}_i \rangle_A = \text{Tr}_A \rho$ ?

Дж. Мюррей

^След взят относительно ортонормированного базиса, так что нет. Факторы

E_{i}

$E_i$ дайте понять, что сумма, которую вы написали, не является следом

A

$A$ , так что вы, конечно же, не сможете замести это под ковер с помощью алгебраических манипуляций, верно?

Дружелюбный Лагранж

Я думал, что трасса инвариантна при любой смене базиса циклическим свойством трассы, что я упускаю?

Дружелюбный Лагранж

Учитывая, что мой приведенный выше аргумент неверен, что должно быть эквивалентно «редуцированному» гамильтониану?

Дж. Мюррей

Трассировка инвариантна, а эта формула — нет . Примечание для общего изменения базы

| ϕ ⟩ \mapsto P | ϕ ⟩

$|\phi\rangle \mapsto P|\phi\rangle$ и

A \mapsto P A P^{- 1}

$A\mapsto PAP^{-1}$ , у нас есть

\sum ⟨ ϕ_{i} | A | ϕ_{i} ⟩ \mapsto \sum ⟨ ϕ_{i} | P^{†} (P A P^{- 1}) P | ϕ_{i} ⟩ \neq \sum ⟨ ϕ_{i} | A | ϕ_{i} ⟩

$\sum \langle \phi_i|A|\phi_i\rangle \mapsto \sum \langle \phi_i|P^\dagger \big(P A P^{-1}\big)P|\phi_i\rangle \neq \sum \langle\phi_i|A|\phi_i\rangle$ пока не

P

$P$ является унитарным. К сожалению, я недостаточно хорошо разбираюсь в открытых квантовых системах, чтобы дать здесь хороший ответ, но в целом эволюция

ρ_{B}

$\rho_B$ будет неунитарным и выглядеть совсем иначе - см. ссылку, которую я разместил выше.

Дружелюбный Лагранж

Я нашел следующую ссылку очень полезной: MIT Open Quantum Systems

Ответы (1)

Существует ли понятие «редуцированного» гамильтониана?

$\sum_i E_i^A \langle \phi_i |_A \rho |\phi_i \rangle_A \ne \mathrm{Tr}_A \rho$ . есть дополнительный $E^A$ внутри суммы.
Соответствующая вики: Открытые квантовые системы
@BySymmetry Не можете ли вы определить $| \tilde{\phi}_i \rangle_A := \sqrt{E_i^A}| \phi_i \rangle_A$ так что $\sum_i E_i^A \langle \phi_i |_A \rho |\phi_i \rangle_A = \sum_i \langle \tilde{\phi}_i |_A \rho | \tilde{\phi}_i \rangle_A = \text{Tr}_A \rho$ ?
^След взят относительно ортонормированного базиса, так что нет. Факторы $E_i$ дайте понять, что сумма, которую вы написали, не является следом $A$ , так что вы, конечно же, не сможете замести это под ковер с помощью алгебраических манипуляций, верно?
Я думал, что трасса инвариантна при любой смене базиса циклическим свойством трассы, что я упускаю?
Учитывая, что мой приведенный выше аргумент неверен, что должно быть эквивалентно «редуцированному» гамильтониану?
Трассировка инвариантна, а эта формула — нет . Примечание для общего изменения базы $|\phi\rangle \mapsto P|\phi\rangle$ и $A\mapsto PAP^{-1}$ , у нас есть $\sum \langle \phi_i|A|\phi_i\rangle \mapsto \sum \langle \phi_i|P^\dagger \big(P A P^{-1}\big)P|\phi_i\rangle \neq \sum \langle\phi_i|A|\phi_i\rangle$ пока не $P$ является унитарным. К сожалению, я недостаточно хорошо разбираюсь в открытых квантовых системах, чтобы дать здесь хороший ответ, но в целом эволюция $\rho_B$ будет неунитарным и выглядеть совсем иначе - см. ссылку, которую я разместил выше.
Я нашел следующую ссылку очень полезной: MIT Open Quantum Systems

По симметрии · Answer 1

Как обсуждалось в комментариях, проблема с тем, что вы написали, заключается в том, что нет такого изменения базы, что

\sum_{я} Е_{я}^{А} ⟨ ф_{я} |_{А} р | ф_{я} ⟩_{А} "=" {Т р}_{А} р

$\sum_i E_i^A \langle\phi_i|_A \rho |\phi_i\rangle_A = \mathrm{Tr}_A \rho$

В более общем смысле проблема с понятием редуцированного гамильтониана заключается в том, что редуцированная система в данный момент времени обычно не содержит достаточно информации для воспроизведения будущей динамики системы. Если я не знаю, что делает часть, которую я вычертил, я не могу предсказать, какой эффект она окажет на то, что осталось.

Простейшим следствием этого может быть потеря единичной во времени эволюции. Поскольку информация о системе теряется в окружающей среде, матрица с уменьшенной плотностью обычно становится более смешанной и менее чистой с течением времени. Это нельзя смоделировать с помощью истинного гамильтониана, но можно смоделировать с помощью формализма, такого как основное уравнение Линдблада (в котором лувиллиан играет роль, аналогичную гамильтониану) или неэрмитовой квантовой механики . Однако оба эти подхода основаны на так называемом марковском приближении. Когда информация о системе передается ее окружению, она либо немедленно возвращается, либо просто теряется. Мы никогда не можем послать «сигнал», а через некоторое время услышать «эхо». Эта потеря информации приводит к неунитарной динамике.

Есть некоторые методы, направленные на выход за рамки марковского приближения, такие как уравнение Накадзимы-Цванцига или функциональный подход Фейнмана-Вернона. Эти методы обычно включают не только мгновенную матрицу плотности, но и некоторую форму интеграла по прошлой истории системы. Если мы знаем начальное состояние окружающей среды и все наши прошлые взаимодействия с ней, мы можем реконструировать ее текущее состояние и таким образом точно рассчитать будущую динамику. Поскольку уравнения движения в этих формализмах нелокальны во времени, на самом деле нет ничего, что было бы так близко похоже на гамильтониан.

Теперь я вижу отсутствие такой трансформации. Итак, все, что мы можем сказать, если таковые имеются, это то, что $я \frac{г}{г т} р_{Б} "=" [{ЧАС}_{Б}, \sum_{я} Е_{я}^{А} (⟨ ф_{я} |_{А} \otimes 1_{Б}) р (| ф_{я} ⟩_{А} \otimes 1_{Б})],$ $i\frac{d}{dt} \rho_B =\left[H_B, \sum_iE_i^A(\langle \phi_i|_A\otimes 1_B)\rho(| \phi_i \rangle _A\otimes 1_B)\right],$ что бы это ни значило. Я полностью согласен с вашей интуицией, что отсутствие информации означает, что "редуцированный" гамильтониан вообще не существует (поэтому я был удивлен и задал этот вопрос :) ). Я подумаю над остальной частью вашего ответа и проверю упомянутую вами литературу. Большое спасибо за ваше время и терпение!

Существует ли понятие «редуцированного» гамильтониана?

Дружелюбный Лагранж

По симметрии

Дж. Мюррей

Дружелюбный Лагранж

Дж. Мюррей

Дружелюбный Лагранж

Дружелюбный Лагранж

Дж. Мюррей

Дружелюбный Лагранж

Ответы (1)

По симметрии

Дружелюбный Лагранж

Кажущийся парадоксом для гипотезы термализации собственных состояний (ETH)

Казалось бы, парадокс гипотезы термализации собственных состояний (ETH).

Максимально смешанное состояние находится в центре всех квантовых состояний.

Можно ли вывести уравнение Шредингера из квантовой теории информации?

Матрицы 2x2, которые не являются действительными квантовыми состояниями

Квантовая запутанность неразличимых частиц

Когда состояние вида ρ=∑ipi|ψi⟩⟨ψi|ρ=∑ipi|ψi⟩⟨ψi|\rho=\sum_i p_i\lvert\psi_i\rangle\langle\psi_i\rvert может быть чистым состоянием?

Какова важность диагональной матрицы плотности после измерения/декогеренции?

Если B1,B2B1,B2B_1,B_2 и B2,B3B2,B3B_2,B_3 являются MUB, можем ли мы заключить, что либо B1,B3B1,B3B_1,B_3 являются MUB, либо они имеют эквивалентные матрицы Адамара?

След операторной матрицы (квантовые вычисления и квантовая информация)