Я пытался рассуждать о том, как квантовая механика может быть связана с искривлением пространства-времени, и пришел к очевидному противоречию, которое меня озадачивает. Было бы неплохо, если бы кто-нибудь указал, если я ошибаюсь.
Допустим, кто-то хочет определить расстояние, например, положение частицы, с высокой точностью. Затем, в соответствии с принципом неопределенности, приходится жертвовать точностью того, насколько точно может быть известен импульс частицы, поэтому попытка определить расстояние более точно влечет за собой увеличение неопределенности импульса. С другой стороны, согласно общей теории относительности, кривизна пространства-времени связана с энергией и импульсом любой присутствующей материи, поэтому, если кривизна зависит от импульса, увеличение неопределенности импульса должно привести к увеличению «неопределенности кривизны» (хотя я не не думаю, что когда-либо слышал этот термин). Вот где у меня проблемы: поскольку расстояние между двумя точками зависит от кривизны между ними (то есть,
Я предполагаю, что кажущийся парадокс связан с введением в мои аргументы этой «неопределенности кривизны», что кажется немного странным. Является ли весь аргумент неверным, или его можно использовать как способ показать, что бесконечно малые расстояния не могут быть измерены?
Хороший вопрос. Это не удивительно. Мы до сих пор не согласовали ОТО (общую теорию относительности) с квантовой теорией (КТ). Мы не знаем, как сделать то, что вы просите.
Измерение положения частицы можно сделать точно в QT, как вы сказали, и это означает, что вы выбрали его положение. Затем переменная импульса имеет бесконечную дисперсию в этом состоянии, что подтверждает принцип неопределенности. Это верно для квантовой частицы в ФИКСИРОВАННОМ пространственно-временном фоне, т.е. в определенной кривизне. Мы знаем это, потому что мы разработали, как иметь дело с квантовыми частицами или квантовыми полями на фиксированном фоне.
Но затем вы делаете еще один шаг, как и следовало бы, и говорите, что импульс должен сделать источник гравитационного поля квантовой сущностью, а поле тогда должно быть квантовым, и, таким образом, какой-то его аспект должен находиться в квантовое состояние. Если это небольшой эффект, мы можем рассматривать его пертурбативно и вычислять этот эффект. Но потом снова возникают возмущения по положению и так далее, где приходится делать бесконечное количество возмущений. Мы не знаем, как вычислить это, не прибегая к бесконечности, которую оно включает; квантовая гравитация, сделанная таким образом, не перенормируема, это было доказано. Если бы вы хотели первое возмущение, и оно было бы небольшим, как одна частица изменилась, то оно действительно легко сошлось бы, но на самом деле входят все частицы, все источники гравитационного поля, и мы должны учитывать их все.
Хорошей новостью является то, что гравитация слабо связана с материей и чем-то еще, и мы можем сделать одношаговое приближение и в полях, которые не слишком сильны, достаточно близко подобраться к ответу. На самом деле, в основном мы просто рассматриваем затронутые частицы как очень немногие, рассматриваем их количественно, а источник гравитационного поля (т. е. кривизну) рассматриваем классически. Это то, что сделали Хокинг и другие, рассматривая, как квантовый эффект вызывает излучение от черной дыры.
Текущая работа по квантовой гравитации ведется по нескольким направлениям, из которых теория струн и петлевая квантовая гравитация являются двумя наиболее популярными. Эквивалентность между гравитацией в пространстве-времени (конкретном, Антидеситере) и конформной КТ в его границах — это еще один подход, называемый AdS/CFT-соответствием. Пока мы не выясним это, у нас нет ответа на ваш вопрос.
Популярный концептуальный взгляд на то, как может выглядеть гравитация в квантовой сфере, который проявился бы на планковских масштабах cms — это бурлящая и быстро меняющаяся пена, которая представляет собой предшественник пространства-времени на больших нормальных расстояниях.
Google Quantum Gravity и см. в качестве вступления статью в вики по адресу https://en.m.wikipedia.org/wiki/Quantum_gravity .
Прочитайте главу 21 в книге «Гравитация Мизнера-Торна-Уилера». В нем вы увидите вывод подхода Арновитта-Дезера-Мизнера (АДМ) к теории относительности. Я не буду воспроизводить это здесь, а набросаю немного этого. Кривизна Римана приводит к гамильтоновой связи . Здесь метрика импульса, сопряженная с метрикой для пространственной поверхности и является метрикой суперпространства. Тогда мы имеем естественное условие квантования
Метрика импульса построена из внешней кривизны, и поэтому это форма неопределенности между кривизной и метрикой. Это можно продолжить с помощью ограничения Гамильтона. Хорошим кандидатом для рассмотрения будет продукт метрических компонентов. .
Хавьер