Существует ли технический термин для обозначения «осмысленности» математических операций?
Например, сложение векторов, представляющих силы, имеет смысл независимо от системы координат, а поэлементное произведение — нет.
Умножение кватернионов, представляющих повороты, имеет смысл, а сложение кватернионов — нет.
На самом деле я думаю, что «значащий» или «физически значимый» во многих случаях — это то, что вы собираетесь получить, хотя это слово может разделяться на более тонкие значения. Если мы думаем о математике как о языке, то подумайте о словах, которые описывают, насколько хорошо описание соответствует своей цели . Вызывает ли математическое описание «правильные» идеи? Итак, слова, над которыми вы могли бы подумать:
«Правильно сформированное» или «синтатически правильное» , т. е. является ли выражение даже «законным» в соответствии с определением соответствующей системы аксиом: неправильно сформированные выражения могут быть или ;
«тавтологическое» ( в логическом смысле ) , т. е . выражение истинно во всех возможных интерпретациях: оно может достичь тавтологии, например, будучи теоремой в непротиворечивой системе аксиом . Часто выражения не будут полностью тавтологичны, но, по крайней мере, они могут быть истолкованы как таковые в очень ограниченном контексте рассматриваемой проблемы или физической ситуации.
«хорошо мотивированный» или «хорошо поддерживаемый» : может быть физический аргумент относительно того, почему предлагаемое выражение имеет смысл в данном контексте. Также может быть экспериментальная мотивация: если вы использовали сложение кватернионов, ограниченное подпространство для выполнения статических расчетов, эксперимент поддержит вас.
«звук» : очень часто математики дают явные определения объектов и того, как ими следует манипулировать, поэтому единственными значимыми выражениями являются те, которые вытекают из конкретной системы определений / аксиом: это очень похоже на « хорошо сформированный». Например, гильбертово пространство — это полное пространство внутреннего произведения/векторное пространство, равное своему топологическому дуалу (два эквивалентных определения), поэтому аргументы, вытекающие из гильбертовых пространств, требуют формирования внутренних произведений, формирования последовательностей Коши, построения линейных функционалов и их проверки. для непрерывности и так далее: я считаю, что «значимые» выражения очень точно, явно и очевидно определены с самого начала. Физики часто поступают подобным образом: определяют «систему аксиом», чтобы представить какое-то физическое явление, а затем выискивают в этой системе «теоремы»: в физике есть еще один необходимый шаг, на котором мы должны проверить, согласуются ли наши выведенные теоремы с экспериментальными наблюдениями. , но в принципе очень похоже, по крайней мере в принципе, на "аксиому, определение, лемму, положение...
Имейте в виду, что математика — это во многом язык, и те идеи, которые вы ищете, мало чем отличаются от слов, которые учитель, специалист по детскому развитию или специалист по поведению могут использовать для описания языка, который они наблюдают по мере того, как ребенок растет, осваивает его или ее родной язык, сначала как «неправовые» (по крайней мере, в нашем ограниченном логическом способе мышления) последовательности и лепет, затем как простые предложения, затем как точные описания непосредственного окружающего его или ее мира, ведущие к сложным историям и аллегории, в которых многие понятия схватываются и используются одновременно и точно переплетаются вместе, чтобы вызвать точные идеи в умах других социальных животных, составляющих социальный мир ребенка. Есть много разных оттенков значения слова «значимый».
Джим
Джинави