Сверхтонкая структура водорода: общее выражение

Гамильтониан для спин-спинового взаимодействия:

$$\Delta H_{SS} = \frac{\gamma_p e^2}{m m_p c^2 r^3} \Big( \frac{1}{r^3} \big(3(\vec{s}_p \cdot \hat{r})(\vec{s}_e \cdot \hat{r})-(\vec{s}_p \cdot \vec{s}_p) \big)+\frac{8 \pi}{3} (\vec{s}_p \cdot \vec{s}_p) \delta^{(3)}( \vec{r} ) \Big)$$

Для случаев, когда$l \neq 0$член с дельта-функцией сокращается, а волновая функция пропорциональна$r^l$для маленьких$r$ценности. Таким образом, когда$l>0$мы получаем это$\psi(0)=0$, и тогда поправка к энергии будет:

$$\Delta E_{hf} = \frac{\gamma_p e^2}{m m_p c^2} \left\langle \frac{1}{r^3} \big( ( \vec{l} \cdot \vec{s}_p )+3(\vec{s}_p \cdot \hat{r})(\vec{s}_e \cdot \hat{r})-(\vec{s}_p \cdot \vec{s}_p) \big) \right\rangle$$

Это математическое ожидание было рассчитано Бете и Солпитером, и результат таков:

$$\Delta E_{hf} = \frac{m}{m_p} \alpha^4 mc^2 \frac{\gamma_p}{2 n^3} \left( \frac{ f(f+1)-j(j+1)-\frac{3}{4}}{j(j+1)(l+\frac{1}{2})} \right),$$

Этот результат совпадает с$l=0$случае, с тех пор$j=\frac{1}{2}$а протон имеет спин 1/2 поэтому$f=j \pm \frac{1}{2}$и приведенное выше выражение может быть упрощено до результата, который у вас уже есть для$l=0$случай...

(В следующий раз попробуйте старые книги QM, подобные этой http://adsabs.harvard.edu/abs/1957qmot.book.....B )