Свойства преобразования перекрестного произведения

Question

Свойства преобразования перекрестного произведения

Риндлер98

В классической механике Гольдштейна векторное произведение $\mathbf{V}^{*}$ из двух векторов $\mathbf{D}$ и $\mathbf{F}$ , с компонентами $D_i$ и $F_i$ относительно некоторой декартовой системы отсчета, соответственно, определяется как вектор с компонентами

В_{я}^{*} "=" Д_{Дж} Ф_{к} - Д_{к} Ф_{Дж}, я, Дж, к в циклическом порядке.

$V_i^{*}=D_jF_k-D_kF_j,\qquad\text{$i,j,k$ in cyclic order.}$ Из этого определения следует, что направление

V^{*}

$\mathbf{V}^{*}$ Однако зависит от хиральности используемой системы отсчета, в то время как в большинстве элементарных трактовок векторной алгебры векторное произведение определяется как вектор с четко определенным направлением, независимым от какой-либо системы отсчета, который должен быть определен с помощью правила правой руки. .

Действительно, когда $\mathbf{D}=D\mathbf{i}$ и $\mathbf{F}=F\mathbf{j}$ относительно правой декартовой системы отсчета, согласно предыдущему, имеем

В_{3}^{*} "=" Д Ф, В_{1}^{*} "=" В_{2}^{*} "=" 0 ⟹ В^{*} "=" Д Ф к .

$V_3^{*}=DF,\qquad V_1^{*}=V_2^{*}=0\qquad\implies\qquad\mathbf{V}^{*}=DF\mathbf{k}.$ Теперь базисные векторы

i^{'} = - i

$\mathbf{i}'=-\mathbf{i}$ ,

j^{'} = - j

$\mathbf{j}'=-\mathbf{j}$ ,

k^{'} = - k

$\mathbf{k}'=-\mathbf{k}$ и связанные оси координат образуют левостороннюю декартову систему отсчета. Относительно этой системы отсчета имеем

D = - D i^{'}

$\mathbf{D}=-D\mathbf{i}'$ и

F = - F j^{'}

$\mathbf{F}=-F\mathbf{j}'$ . Следовательно, мы теперь имеем

В_{3}^{*} "=" (- Д) (- Ф) "=" Д Ф, В_{1}^{*} "=" В_{2}^{*} "=" 0 ⟹ В^{*} "=" Д Ф к^{'} "=" (- Д Ф) к .

$V_3^{*}=(-D)(-F)=DF,\qquad V_1^{*}=V_2^{*}=0\qquad\implies\qquad\mathbf{V}^{*}=DF\mathbf{k}'=(-DF)\mathbf{k}.$

Я действительно не понимаю цель определения перекрестного произведения в зависимости от координат, что явно дает разные результаты в зависимости от ручности используемого кадра. Я понимаю, что многие тексты по физике хотят различать два типа векторов (полярные и осевые), но в книге Гольдштейна это различие, кажется, просто связано с заменой традиционного, независимого от координат геометрического определения на вышеупомянутое зависящее от координат определение .

Точка зрения приведенного выше обсуждения является пассивной, т.е. оси координат перевернуты. Некоторые тексты предпочитают активную точку обзора, когда вместо перехода из одной системы отсчета в другую точки, векторы и физические объекты поворачиваются относительно одной фиксированной системы отсчета. В этом случае инвертируются все векторы: $\mathbf{D}'=-\mathbf{D}$ для всех $\mathbf{D}$ . Если $\mathbf{V}^{*}=\mathbf{D}\times\mathbf{F}$ , можно было бы утверждать, что $(\mathbf{V}^{*})'=\mathbf{D}'\times\mathbf{F}'=(-\mathbf{D})\times(-\mathbf{F})=\mathbf{D}\times\mathbf{F}=\mathbf{V}^{*}$ . Но почему бы и нет $(\mathbf{V}^*)'=-\mathbf{V}^{*}$ , т.е. почему вычисляется векторное произведение инвертированных векторов вместо инвертирования самого векторного произведения ?

NDewolf

Как вы сами заметили, перекрестное произведение использует правило правой руки и, следовательно, не зависит от координат.

Риндлер98

Как же так? Вам не нужны координаты, чтобы определить или использовать правило правой руки.

Риндлер98

Используя (произвольно выбранное) правило правой руки, перекрестное произведение любых двух векторов может быть определено чисто геометрическим способом, без обращения к какой-либо системе координат.

Риндлер98

Вы не выбираете правило правой руки, используя координаты, вы выбираете его геометрически.

Нихар Карве

Не могли бы вы уточнить, как вы это делаете?

Риндлер98

"Косое произведение [=перекрестное произведение] вектора

A

$\mathbf{A}$ в вектор

B

$\mathbf{B}$ векторная величина

C

$\mathbf{C}$ направление которого является нормалью к той стороне плоскости

A

$\mathbf{A}$ и

B

$\mathbf{B}$ на каком вращении от

A

$\mathbf{A}$ к

B

$\mathbf{B}$ через угол менее ста восьмидесяти градусов появляется положительное или против часовой стрелки; и величина которого получается путем умножения произведения величин

A

$\mathbf{A}$ и

B

$\mathbf{B}$ по синусу угла от

A

$\mathbf{A}$ к

B

$\mathbf{B}$ ."

Риндлер98

Цитата из «Векторного анализа» Э. Уилсона, основанного на лекциях, прочитанных в Йельском университете возможно отцом-основателем векторной алгебры Дж. У. Гиббсом.

Умаксо

@NiharKarve Вы просто добавляете пространству дополнительную структуру - форму ориентации или объема и определяете векторное произведение относительно этой структуры.

Умаксо

@JilalJahangir Я думаю, они утверждают, что в трехмерном пространстве нет «положительного» или «против часовой стрелки» понятия. Вы используете слова, но что они означают? В обычном трехмерном пространстве такого действительно нет, но при желании его можно поставить как дополнительную структуру.

Риндлер98

Интуитивные концепции трехмерного пространства и вращения против часовой стрелки могут быть математически строгими в контексте аффинной геометрии.

Риндлер98

Со всей серьезностью: физик, участвующий в этой дискуссии, действительно не должен осуждать наглядные определения геометрических понятий. Это не вопрос строгости, это вопрос условностей и определений.

Умаксо

@JilalJahangir Вам даже не нужна аффинная геометрия. Вы можете задать ориентацию в любом векторном пространстве. Ориентация есть отношение эквивалентности на множестве всех возможных базисов векторного пространства. Затем выбор ориентации означает случайный выбор одного из классов эквивалентности, говорящий «это положительно». en.wikipedia.org/wiki/Ориентация_(векторное_пространство)

Риндлер98

@Umaxo Я, конечно, знаю об этом. Фактически можно было бы действовать аналогичным образом в контексте аффинной геометрии.

Умаксо

@JilalJahangir Во всяком случае, предоставления ориентации недостаточно, чтобы определить векторное произведение для многомерных пространств, как в специальной теории относительности. И поскольку у Гольдштейна есть глава о СТО, я считаю, что искусственно вводить ее было бы не лучшим выбором.

Ответы (1)

Свойства преобразования перекрестного произведения

Как вы сами заметили, перекрестное произведение использует правило правой руки и, следовательно, не зависит от координат.
Как же так? Вам не нужны координаты, чтобы определить или использовать правило правой руки.
Используя (произвольно выбранное) правило правой руки, перекрестное произведение любых двух векторов может быть определено чисто геометрическим способом, без обращения к какой-либо системе координат.
Вы не выбираете правило правой руки, используя координаты, вы выбираете его геометрически.
Не могли бы вы уточнить, как вы это делаете?
"Косое произведение [=перекрестное произведение] вектора $\mathbf{A}$ в вектор $\mathbf{B}$ векторная величина $\mathbf{C}$ направление которого является нормалью к той стороне плоскости $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ на каком вращении от $\mathbf{A}$ к $\mathbf{B}$ через угол менее ста восьмидесяти градусов появляется положительное или против часовой стрелки; и величина которого получается путем умножения произведения величин $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ по синусу угла от $\mathbf{A}$ к $\mathbf{B}$ ."
Цитата из «Векторного анализа» Э. Уилсона, основанного на лекциях, прочитанных в Йельском университете возможно отцом-основателем векторной алгебры Дж. У. Гиббсом.
@NiharKarve Вы просто добавляете пространству дополнительную структуру - форму ориентации или объема и определяете векторное произведение относительно этой структуры.
@JilalJahangir Я думаю, они утверждают, что в трехмерном пространстве нет «положительного» или «против часовой стрелки» понятия. Вы используете слова, но что они означают? В обычном трехмерном пространстве такого действительно нет, но при желании его можно поставить как дополнительную структуру.
Интуитивные концепции трехмерного пространства и вращения против часовой стрелки могут быть математически строгими в контексте аффинной геометрии.
Со всей серьезностью: физик, участвующий в этой дискуссии, действительно не должен осуждать наглядные определения геометрических понятий. Это не вопрос строгости, это вопрос условностей и определений.
@JilalJahangir Вам даже не нужна аффинная геометрия. Вы можете задать ориентацию в любом векторном пространстве. Ориентация есть отношение эквивалентности на множестве всех возможных базисов векторного пространства. Затем выбор ориентации означает случайный выбор одного из классов эквивалентности, говорящий «это положительно». en.wikipedia.org/wiki/Ориентация_(векторное_пространство)
@Umaxo Я, конечно, знаю об этом. Фактически можно было бы действовать аналогичным образом в контексте аффинной геометрии.
@JilalJahangir Во всяком случае, предоставления ориентации недостаточно, чтобы определить векторное произведение для многомерных пространств, как в специальной теории относительности. И поскольку у Гольдштейна есть глава о СТО, я считаю, что искусственно вводить ее было бы не лучшим выбором.

AccidentalTaylorРасширение · Answer 1

Перекрестное произведение называется псевдовектором . Он нормально трансформируется при вращении, но получает дополнительный знак минус при отражении.

Посмотрите на следующую картинку отражения

Определим синий вектор как векторное произведение зеленого $\times$ красный. После отражения синий вектор все еще определяется как зеленый $\times$ красный, указывает в противоположном направлении. Это неправильный вектор, потому что если вы зеркально отразите вектор нормали вдоль оси y $^\dagger$ переворачивается только компонент y. Преобразование четности — это просто композиция трех отражений, и то, что я только что сказал, справедливо для любого нечетного числа отражений. Четное количество отражений можно записать как вращение, чтобы вы не заметили разницы.

Координатный способ записи перекрестного произведения полностью согласуется с геометрическим определением.

Угловой момент — еще один пример псевдовектора, и я нашел эту картинку (со страницы википедии о псевдовекторах) очень показательной. Он показывает угловой момент колес и, в частности, указывает в одном и том же направлении до и после отражения.

$\dagger$ Под осью Y я подразумеваю направление влево-вправо, то есть вдоль зеленого вектора.

Давайте выровняем $x$ -ось вдоль красного вектора и $z$ -ось с самым правым синим вектором. В вашем ответе подчеркивается активная точка зрения, то есть «оператор четности». $\hat{P}$ активно трансформирует красный вектор $\mathbf{r}=r\mathbf{i}$ и зеленый вектор $\mathbf{g}=g\mathbf{j}$ в свои зеркальные аналоги $\hat{P}\mathbf{r}=\mathbf{r}$ и $\hat{P}\mathbf{g}=-\mathbf{g}$ . На что я указал в своем OP, так это на то, что перекрестное произведение ведет себя здесь ненормально, потому что мы определяем $\hat{P}(\mathbf{g}\times\mathbf{r})\equiv\hat{P}\mathbf{g}\times\hat{P}\mathbf{r}$ .
Аномальное поведение является результатом выбора такой обработки векторного произведения. С таким же успехом можно было бы обращаться с синим вектором $\mathbf{b}=b\mathbf{k}$ как и любой другой вектор. С $\hat{P}$ является линейным оператором, нам нужно только знать, что $\hat{P}\mathbf{k}=\mathbf{k}$ . Следовательно $\hat{P}\mathbf{b}=\hat{P}(b\mathbf{k})=b\mathbf{k}=\mathbf{b}$ .

Свойства преобразования перекрестного произведения

Риндлер98

NDewolf

Риндлер98

Риндлер98

Риндлер98

Нихар Карве

Риндлер98

Риндлер98

Умаксо

Умаксо

Риндлер98

Риндлер98

Умаксо

Риндлер98

Умаксо

Ответы (1)

AccidentalTaylorРасширение

Риндлер98

Риндлер98

Проблемы с ускорением в полярных координатах

Неоднозначность направления угловой скорости и углового смещения из соотношения ω=dϕdtω=dϕdt\boldsymbol{\omega}=\frac{d\boldsymbol{\phi}}{dt}

Странно ли, что есть два направления, перпендикулярные и полю, и току, а сила Лоренца направлена только вдоль одного из них?

Как узнать направление единичного вектора нормали к открытой поверхности?

Получите векторный градиент в сферических координатах из первых принципов

Есть ли в физике ситуация, когда правило правой руки не является произвольным?

Определение векторного перекрестного произведения

Криволинейные координаты и базисные векторы

Физический смысл членов ускорения в полярных координатах

Использование метрики для повышения дифференциального оператора