Физический смысл членов ускорения в полярных координатах

$\ddot{r} \hat e_r$: обычное радиальное ускорение

$-r\dot{θ}^2 \hat e_r$: центростремительное ускорение

$r\ddot{θ}\hat e_θ$: Это ускорение Эйлера . Это ускорение за счет изменения угловой скорости (при фиксированной$r$). Пример взят из связанной статьи в Википедии: на карусели это сила, которая толкает вас к задней части лошади, когда начинается поездка (угловая скорость увеличивается), и к передней части лошади, когда поездка останавливается (угловая скорость). скорость уменьшается).

$2\dot{r}\dot{θ} \hat e_θ$: Кориолисово ускорение

Я могу ответить только на часть вашего вопроса: сила Кориолиса здесь не участвует. Форма, которую вы имеете, происходит непосредственно от выражения$\ddot{x}$и$\ddot{y}$через производные aof$r$и$\theta$через геометрическое изменение

$$\begin{align} x(t)&=r(t)\cos(\theta(t))\, ,\qquad y(t)=r(t)\sin(\theta(t)) \end{align}$$ с последующим преобразованием $$\hat x=\cos(\theta(t))\hat r- \sin(\theta(t))\hat \theta\, ,\quad \hat y=\sin(\theta(t))\hat r+ \cos(\theta(t))\hat \theta\, .$$ Таким образом, различные биты и части полярных координат происходят исключительно из-за изменения системы координат , а не из-за инерциальной или неинерциальной природы системы отсчета , в которой вы можете установить любую систему координат, которую вы хотите.

Потому что ориентация$\hat r$и$\hat \theta$зависят от положения в пространстве, интуицию в их составные части проникнуть непросто.

Вот полное объяснение. Я меняю обозначение$\hat{e_r} \to \hat{r}$,$\hat{e_\theta} \to \hat{\theta}$.

Мы знаем это$\textbf{R} = r \hat{r}$. Следовательно,$\textbf{V} = \dot{r} \hat{r} + r \dot{\theta} \hat{\theta}$. Обозначим также через$\textbf{V}_r = \dot{r} \hat{r} (= \textbf{V} \cdot \hat{r} \hat{r})$, и$\textbf{V}_\theta = r\dot{\theta} \hat{\theta} (= \textbf{V} \cdot \hat{\theta} \hat{\theta})$. Понятно (надеюсь) почему так - смена$\textbf{R}$объясняется изменением вдоль$\hat{r}$(то есть \dot{r}), и изменением направления$\hat{r}$, который$r\dot{\theta}$.

Выводя это, мы видим, что$\textbf{a} = (\ddot{r} - r \dot{\theta}^2) \hat{r} + (r\ddot{\theta} + 2 \dot{r} \dot{\theta}^2) \hat{\theta}$.

Теперь об ускорении. Давайте разделим его на изменение$\textbf{V}_r$и из$\textbf{V}_\theta$(а затем смена$\textbf{V}$будет их сумма, а это ускорение).

Давайте посмотрим сначала на$\textbf{V}_r$:

Мы видим, что$\Delta \textbf{V}_r$представляет собой векторную сумму изменения вдоль$\hat{r}$направление, которое$\Delta \dot{r}$, а изменение, вызванное изменением направления$\hat{r}$, который находится в направлении$\hat{\theta}$, длина которого примерно равна длине$|\textbf{V}_r| \cdot \Delta \theta = \dot{r} \Delta \theta$дуги в$\hat{\theta}$направление. В целом мы получаем$\Delta \textbf{V}_r = \Delta \dot{r} \hat{r} + \dot{r} \Delta \theta \hat{\theta}$с$\Delta t$,$\Delta \theta$бесконечно мала, поэтому при делении на$\Delta t$, в пределе получаем$\dot{\textbf{V}_r} = \ddot{r} \hat{r} + \dot{r} \dot{\theta} \hat{\theta}$.

Теперь о более интересном$\Delta \textbf{V}_\theta$:

Мы видим, что$\Delta \textbf{V}_\theta$представляет собой векторную сумму изменения, вызванного изменением направления$\hat{\theta}$, и изменение вдоль$\hat{\theta}$. Изменение, вызванное изменением направления$\hat{\theta}$приблизительно представляет собой дугу в направлении$-\hat{r}$в с длиной$|\textbf{V}_\theta| \cdot \Delta \theta = r \cdot{\theta} \Delta \theta \cdot (- \hat{r})$.

Изменение вдоль$\hat{\theta}$имеет длину$\Delta (r \dot{\theta}) = \Delta r \dot{\theta} + r \Delta \dot{\theta}$, что можно объяснить как изменение, вызванное увеличением/уменьшением угловой скорости, суммированное с изменением, вызванным увеличением/уменьшением длины$r$, что вызывает скорость по дуге (которая имеет длину$r \dot{\theta}$увеличиваться/уменьшаться быть$(r + \Delta r) \dot{\theta}$. С делением на$\Delta t$и глядя на предел, мы получаем$\dot{\textbf{V}_\theta} = - r \dot{\theta}^2 \hat{r} + \dot{r} \dot{\theta} \hat{\theta} + r \ddot{\theta} \hat{\theta}$.

В целом мы получаем нужное нам уравнение. Что интересно, термин$2 \dot{r} \dot{\theta} \hat{\theta}$распадается на две половины, одна из которых возникает в результате изменения$\textbf{V}_r$а другой от изменения$\textbf{V}_\theta$.

Надеюсь, что теперь более понятно.

В качестве общего совета, составив уравнения, умножив на$dt$и пытаюсь посмотреть на$d(\text{stuff})$иногда помогает геометрия.