Связь между числом частиц и столкновениями молекул газа внутри закрытого контейнера

Формула для среднего свободного пробега частиц газа зависит не только от плотности, но и от «размера» частиц. По мере уменьшения размера вероятность столкновения снижается.

Если у вас есть средний свободный пробег и средняя скорость, то путь, разделенный на скорость, даст вам среднее свободное время для столкновений на частицу.

Проследим за одиночной сферической частицей, движущейся в идеальном газе, состоящем из одинаковых частиц:

Предполагая, что наша интересующая частица имеет диаметр$d$и постоянная средняя скорость$\bar v_x$так как газ имеет постоянную температуру, то через время$t$он пронесет цилиндрическую траекторию столкновения с объемом$V$:

$$V\ =\ (\text{base of cylinder})(\text{height of cylinder})\ =\ (\pi d^2)(\bar v_x t)$$

Чтобы подсчитать количество частиц, с которыми столкнулась интересующая нас частица, то есть количество столкновений, которые она имела за это время, нам просто нужно умножить на плотность:

$$\small \text{number of collisions}\ =\ \text{(volume swept out by our particle)} \times \text{(the number of particles per unit volume)}$$

Подставляя результат из первого уравнения выше и условия из закона идеального газа :

$$\large \text{number of collisions}\ =\ (\pi d^2)(\bar v_x t)\ \times\ \left( \frac{n}{V} \right)$$

Разделив обе части на$t$и подставляя выражение для средней скорости частицы газа$\bar v_x = \sqrt{8k_B T/ \pi m}$приводит к нашему окончательному уравнению :

$$\large \text{number of collisions per second}\ =\ (\pi d^2) \left( \sqrt{8k_B T/ \pi m}\right) \times\ \left( \frac{n}{V} \right)$$

Или записать в терминах давления, используя закон идеального газа:

$$\large \text{number of collisions per second}\ =\ (\pi d^2) \left( \sqrt{8k_B T/ \pi m}\right) \times\ \left( \frac{P}{RT} \right)$$

---

Примечания к источнику:

• Этот вывод был основан на статье «Частота столкновений» в Libretext по химии, а также на справочных документах курса Стэнфордской аэронавтики и астронавтики класса «AA210 - Основы сжимаемого потока».
• Изображение выше взято из вышеупомянутой статьи «Частота столкновений» о Chemistry Libretext.

Вы можете спросить: «Почему основание выметаемого цилиндра$\pi d^2$?» Это эффективная площадь столкновения с учетом размера «целевых» частиц. См. изображение ниже из статьи HyperPhysics «Средний свободный путь» (CR Nave, Университет штата Джорджия):

Для идеального газа PV = nRT.

Давление пропорционально количеству столкновений каждой молекулы газа — не только столкновений со стенками, но и с другими молекулами газа. Следовательно, как у вас может быть разное давление воздуха на разных высотах, даже если нет «стен».