Вычисление давления, оказываемого классическими частицами на стенки кубического сосуда (идеальный газ)

Учитывая, что вероятность найти частицу в состоянии | я ⟩ является

п я ∝ опыт ⁡ ( − β Е я )
можно заключить, что для классических частиц (:=частиц, подчиняющихся классическому соотношению кинетической энергии) с массой м распределение скорости определяется выражением
п ( | в | ) "=" 2 π ( β м ) 3 / 2 опыт ⁡ ( − β м | в | 2 2 )
Теперь рассмотрим кубический ящик с объемом л 3 . Какое давление оказывают Н классические частицы, заключенные в этом ящике на шести одинаковых стенках конфайнмента?

Можно прийти к ответу

п "=" Н β В
предполагая, что

  1. Нет взаимодействия между частицами
  2. Столкновения со стенками упругие и что импульс частицы после столкновения со стенкой равен п ′ "=" п − 2 п н . Где н нормально к стене.
  3. Каждая частица движется на расстояние л до столкновения со стеной. Частицы движутся только по прямой траектории из Сиде С я на соответствующую противоположную сторону С я ′ . Они никогда не путешествуют с одной стороны на соседнюю.

Теперь логика проста. Сила, действующая на одну сторону куба со стороны одной частицы со скоростью в просто

Ф ( в ) "=" Δ п Δ т "=" 2 м в 2 л / в
Сила, с которой в среднем действует одна частица сбоку
⟨ Ф ⟩ "=" 2 м 2 л ⟨ в 2 ⟩ "=" м л ∫ р + в 2 п ( в ) г в "=" 3 β л
Что приводит к полному давлению, оказываемому на этой стороне
п "=" Н 3 ⟨ Ф ⟩ А "=" Н β В
Который по симметрии одинаков для всех шести сторон.

Обратите внимание, что не Н но Н / 3 частицы перемещаются с одной стороны на противоположную, поскольку всего имеется шесть сторон.

Может ли кто-нибудь прийти к результату, не используя третье предположение, которое я придумал? Я бы рассматривал это как чисто геометрическую задачу и не могу придумать умного способа решить ее. Мне нужна обработка, которая также позволяет частицам перемещаться с одной стороны на одну из соседних сторон.

Ответы (1)

Мы предположили, что частицы невзаимодействуют. Выберем частицу наугад. Эта частица имеет с п я вероятность энергии Е я . Предположим, что эта энергия также является данностью. Теперь у нас есть альтернативное предположение для вашего третьего:

  1. Любая частица имеет одинаковую вероятность двигаться в любом направлении. В р 3 , это означает, что вероятность того, что частица движется в каком-либо направлении, равна г п ( θ + г θ , ф + г ф ) "=" грех ⁡ ( θ ) г θ г ф   /   4 π .

Это последнее предположение на самом деле является не предположением, а аргументом симметрии. Теперь предположим, что у нас есть частица со скоростью в . Вклад этой частицы в общее давление на верхнюю грань куба (т.е. ( Икс , у , л ) ) является,

п г "=" м ( в ⋅ г ^ ) 2 л "=" м л ( в потому что ⁡ ( θ ) ) 2

Это следует из того, что эта частица имеет скорость в г "=" в ⋅ г ^ на + г ^ направлении, и он проходит полный путь (вдоль г ^ ) из л в процессе.

Вероятность этого события мы рассчитали выше.

п "=" ⟨ п г ⟩ "=" ∫ п г п ( θ + г θ , ф + г ф ) "=" ∫ 0 π м в 2 л потому что 2 ⁡ ( θ ) грех ⁡ ( θ ) г θ   /   2
п "=" м в 2 6 л ( потому что 3 ⁡ ( 0 ) − с о с 3 ( π ) ) "=" м в 2 3 л

Дело в том, что если только Н / 3 частицы движутся в г ^ , а те, которые имеют скорости только на г ^ идентичен расчетам, сделанным в предположении, что все частицы ( Н ) имеют произвольный вектор скорости.

Спасибо, это то, что я искал. Но вы говорите: «Это следует из того, что эта частица имеет скорость в г "=" в ⋅ г ^ в + г ^ направлении, и он проходит полный путь (вдоль г ^ ) из л в процессе." Почему путь вдоль г ^ равно л ? Это предполагает, что частица начинается в нижней части коробки. Хотя в среднем это не так.
Я думаю, что ответил на этот последний вопрос для себя: выбрать случайную частицу со скоростью в и посмотрите на него после столкновения где верхняя стенка получила импульс Δ п "=" 2 п г "=" 2 м в г "=" 2 м в потому что ⁡ ( θ ) . Полностью упругое столкновение не изменило скорости в . Сколько времени потребуется частице, чтобы снова удариться о верхнюю стенку? Ответ Δ т "=" 2 л в г "=" 2 л в * с о с ( θ ) , так как частица должна спуститься к стене на полу, а затем снова подняться, общее г ^ -расстояние 2 л . Так что сила на верхней стене действительно Ф "=" Δ п Δ т "=" м в г 2 / л
Вычисление давления, оказываемого классическими частицами на стенки кубического сосуда (идеальный газ)
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v